洛谷 P1551 亲戚

这是一篇关于利用并查集解决编程竞赛问题的博客,详细介绍了如何运用并查集解决洛谷P1551题目中的亲戚关系判断。博客内容包括题目描述、输入输出样例、解题思路、并查集的基本操作(初始化、合并、查找)以及路径压缩的递归和非递归实现,并提供了已通过验证的C++代码。

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 题目链接:亲戚 - 洛谷

题目详情:

若某个家族人员过于庞大,要判断两个是否是亲戚,确实还很不容易,现在给出某个亲戚关系图,求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。规定:x 和 y 是亲戚,y 和 z 是亲戚,那么 x 和 z 也是亲戚。如果 x,y 是亲戚,那么 x 的亲戚都是 y 的亲戚,y 的亲戚也都是 x 的亲戚。

输入格式:

第一行:三个整数 n,m,p,(n,m,p ≤ 5000),分别表示有 n 个人,m 个亲戚关系,询问 p 对亲戚关系。

以下 m 行:每行两个数 M i,M j,1 ≤ M i, M j ≤ N,表示 M i​ 和 M j​ 具有亲戚关系。

接下来 p 行:每行两个数 P i,P j​,询问 P i​ 和 P j​ 是否具有亲戚关系。

输出格式:

p 行,每行一个 YesNo。表示第 i 个询问的答案为“具有”或“不具有”亲戚关系。

输入输出样例:

输入 #1

6 5 3
1 2
1 5
3 4
5 2
1 3
1 4
2 3
5 6

输出 #1

Yes
Yes
No

题目分析:

比较基础的一道并查集题目,下面简单介绍一下并查集并逐步分析:

并查集主要用于处理一些不相交集合的合并问题。主要有两部分操作:1.合并:把两个不相交的集合合并为一个集合;2.查找:查找两个元素是否在同一个集合里。

初始化:

#define max 10001
int fa[max];//用数组来储存集合元素
void init_set(int n)//将n个元素设为n个独立的集合
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        fa[i] = i;
    }
}

图解(1,2,3初始化为3个独立的集合) 

本题中先初始化将每个人的祖先设置为自己,每人单独为一个集合。

合并:

void union_set(int i, int j)//将j合并到i的集合中
{
    fa[find_set(i)] = find_set(j);//find_set为查找部分函数
}

图解(将 2 和 3 合并到 1 集合中形成树形结构,其中1为树的根节点) 

 本题中将输入的m行中具有亲戚关系的两人合并为1个集合(将两人的祖先合并,设后一个人的祖先是前面的那个人)。

查找:

int find_set(int x)//查找
{
    if (fa[x] == x)//元素的值和集相等
        return x;
    else
        return find_set(fa[x]);//继续访问父节点
}

本题中不断查找判断两人的祖先(根节点)是否相同,然后再输出判断结果。

因为初始查找的效率比较低,我们会在返回时顺便把x所属的集改成根节点,每个元素到根节点的路径就缩短了。

查找—路径压缩(递归版本):

int find_set(int x)//查找-路径压缩
{
    if(fa[x] == x)
        return x;
    else
    {
        fa[x] = find_set(fa[x]);//父节点设为根节点
        return fa[x];
    }
}

简写(整体代码中引用此简写的查找代码):

int find_set(int x)//查找
{
    return fa[x] == x ? x : (fa[x] = find_set(fa[x]));//如果?前面条件成立返回x,否则返回fa[x] = find_set(fa[x])
}

查找—路径压缩(非递归版本如果担心数据规模太大爆栈可以用非递归版):

int find_set(int x)//查找-路径压缩
{
    int r = x;
    while (fa[r] != r)//找到根节点
    {
        r = fa[r];
    }
    int i = x, j;
    while (i != r)
    {
        j = fa[i];//用临时变量j记录
        fa[i] = r;//把路径上元素的集改为根节点
        i = j;
    }
    return r;
}

c++完整代码(已ac):

#include <iostream>
using namespace std;
#define max 5001
int fa[max];
void init_set(int n)//将n个元素设为n个独立的集合
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        fa[i] = i;
    }
}
int find_set(int x)//查找
{
    return fa[x] == x ? x : (fa[x] = find_set(fa[x]));
}
void union_set(int i, int j)//合并
{
    fa[find_set(i)] = find_set(j);//将i和j的祖先合并
}
int main()
{
    int n, m, p, x, y;
    cin >> n >> m >> p;
    init_set(n);//家族人数读入
    for (int i = 0; i < m; i++)//将有亲戚关系的进行合并
    {
        cin >> x >> y;
        union_set(x, y);
    }
    for (int i = 0; i < p; i++)
    {
        cin >> x >> y;
        if (find_set(x) == find_set(y))//双方是亲戚
        {
            cout << "Yes" << endl;
        }
        else
        {
            cout << "No" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

计算机204 zjr

03-21
### 关于动态规划 (Dynamic Programming, DP) 的解决方案 在解决平台上的编程问题时,尤其是涉及动态规划的题目,可以采用以下方法来构建解决方案: #### 动态规划的核心思想 动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。其核心在于存储重复计算的结果以减少冗余运算。通常情况下,动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。 对于动态规划问题,常见的思路包括定义状态、转移方程以及边界条件的设计[^1]。 --- #### 题目分析与实现案例 ##### **P1421 小玉买文具** 此题是一个典型的简单模拟问题,可以通过循环结构轻松完成。以下是该问题的一个可能实现方式: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; // 输入购买数量n double p, m, c; cin >> p >> m >> c; // 输入单价p,总金额m,优惠券c // 计算总价并判断是否满足条件 if ((double)n * p <= m && (double)(n - 1) * p >= c) { cout << "Yes"; } else { cout << "No"; } return 0; } ``` 上述代码实现了基本逻辑:先读取输入数据,再根据给定约束条件进行验证,并输出最终结果[^2]。 --- ##### **UOJ104 序列分割** 这是一道经典的区间动态规划问题。我们需要设计一个二维数组 `f[i][j]` 表示前 i 次操作后得到的最大价值,其中 j 是最后一次切割的位置。具体实现如下所示: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 5e3 + 5; long long f[MAXN], sumv[MAXN]; int a[MAXN]; int main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); int n,k; cin>>n>>k; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]; for(int i=1;i<=n;i++)sumv[i]=sumv[i-1]+a[i]; memset(f,-0x3f,sizeof(f)); f[0]=0; for(int t=1;t<=k;t++){ vector<long long> g(n+1,LLONG_MIN); for(int l=t;l<=n;l++)g[l]=max(g[l-1],f[t-1][l-1]); for(int r=t;r<=n;r++)f[r]=max(f[r],g[r]+sumv[r]*t); } cout<<f[n]<<'\n'; return 0; } ``` 这段程序利用了滚动数组优化空间复杂度,同时保持时间效率不变[^3]。 --- ##### **其他常见问题** 针对更复杂的路径覆盖类问题(如 PXXXX),我们往往需要结合一维或多维动态规划模型加以处理。例如,在某些场景下,我们可以设定 dp 数组记录到达某一点所需最小代价或者最大收益等指标[^4]。 --- ### 总结 以上展示了如何运用动态规划技巧去应对不同类型的算法挑战。无论是基础还是高级应用场合,合理选取合适的数据结构配合清晰的状态转换关系都是成功解决问题的关键所在。
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