Dollar Dayz POJ - 3181 (划分数(递推关系式优化)+大数(技巧))

本文探讨了如何使用动态规划解决物品划分问题，通过定义dp[i][j]为j的i划分总数，给出了详细的递推公式及代码实现，解决了划分方法数的计算问题。

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划分数：有n个无区别的物品，将它们划分成不超过m组，求出划分方法数模M的余数。

这样的划分叫做n的m划分，特别的，m=n时称作n的划分数。DP不仅对于求解最优问题有效，对于各种排列组合的个数，概率或者期望之类的计算同样很有用。

定义：

dp[i][j]=j的i划分的总数

如果将j分划成i个的话，可以先取出k个，然后将剩余的j-k个分成i-1份，此时得到的递推式时这样的：

$dp[i][j]=\sum dp[i-1][j-k]$

但是这样递推是不正确的，会有很多重复，例如1+1+2和1+2+1就被当作不同的划分数来计数了。为了不重复计数，需要找到别的递推公式

当j>=i时，dp[i][j]=dp[i-1][j](j的i-1划分，相当于当前位取0的情况)+dp[i][j-i](当前位不取0，先把每一位置为1，再将剩下的j-i分下去)

j<i时，dp[i][j]=dp[i-1][j](当前位只能取0)

附上代码:

int n,m;
int dp[MAXM+1][MAXN+1];
void solve()
{
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++){
            if(j-i>=0){
                dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-i])%mod;
            }else{
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[m][n]);
}

附上本题代码(使用两个long long数组进行拼接)：


#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAXN=1100;
const ll inf=1000000000000000000LL;

ll a[MAXN];
ll b[MAXN];

int main()
{
    int n,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF){
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(b,0,sizeof(b));
        b[0]=1;
        for(int i=1;i<=k;i++){
            for(int j=i;j<=n;j++){
                a[j]=a[j]+a[j-i]+(b[j]+b[j-i])/inf;
                b[j]=(b[j]+b[j-i])%inf;
            }
        }
        if(a[n]==0){
            printf("%I64d\n",b[n]);
        }else{
            printf("%I64d%018I64d\n",a[n],b[n]);
        }
    }
    return 0;
}