POJ3181：Dollar Dayz(完全背包)

最新推荐文章于 2024-06-10 16:45:12 发布

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本文介绍了一种使用动态规划解决整数划分问题的方法，具体为计算在特定预算内，通过不同价格的商品组合达到总金额目标的所有可能方式。文章提供了一个具体的案例分析及实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

Farmer John goes to Dollar Days at The Cow Store and discovers an unlimited number of tools on sale. During his first visit, the tools are selling variously for $1, $2, and $3. Farmer John has exactly $5 to spend. He can buy 5 tools at $1 each or 1 tool at $3 and an additional 1 tool at $2. Of course, there are other combinations for a total of 5 different ways FJ can spend all his money on tools. Here they are:

        1 @ US$3 + 1 @ US$2

        1 @ US$3 + 2 @ US$1

        1 @ US$2 + 3 @ US$1

        2 @ US$2 + 1 @ US$1

        5 @ US$1

Write a program than will compute the number of ways FJ can spend N dollars (1 <= N <= 1000) at The Cow Store for tools on sale with a cost of $1..$K (1 <= K <= 100).

Input

A single line with two space-separated integers: N and K.

Output

A single line with a single integer that is the number of unique ways FJ can spend his money.

Sample Input

5 3

Sample Output

题意：给出两个数,n,m,问m以内的整数有多少种组成n的方法

思路：一看就是完全背包，然后果断敲了，提交，WA，寻找原因所在，发现输入1000,100，时候，输出的明显是垃圾值，那么这题很明显后面的结果会很大，然而循环1000*100的话，用大数绝对超时，参考别人的代码后，才发现能够用将大数分开处理的方法，下面是原理

整数划分是把一个正整数 N 拆分成一组数相加并且等于 N 的问题.
比如:
6
5 + 1 (序列)
4 + 2, 4 + 1 + 1
3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
假设F(N,M) 整数 N 的划分个数,其中 M 表示将 N 拆分后的序列中最大数
考虑边界状态:
M = 1 或者 N = 1 只有一个划分 既: F(1,1) = 1
M = N : 等于把M - 1 的划分数加 1 既: F(N,N) = F(N,N-1) + 1 
M > N: 按理说,N 划分后的序列中最大数是不会超过 N 的,所以 F(N,M ) = F(N,N)
M < N: 这个是最常见的, 他应该是序列中最大数为 M-1 的划分和 N-M 的划分之和, 比如F(6,4),上面例子第三行, 他应该等于对整数 3 的划分, 然后加上 2 的划分(6-4) 所以 F(N,M) = F(N, M-1) + F(N-M,M)
用动态规划来表示

 dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]
           
           dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
           则划分数可以分为两种情况:
 
           a. 划分中每个数都小于 m， 相当于每个数不大于 m- 1, 故
              划分数为 dp[n][m-1].
 
           b. 划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m , 剩下的就相当
              于把 n-m 进行划分， 故划分数为 dp[n-m][m];

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

__int64 a[1005][105],b[1005][105],inf = 1;

int main()
{
    int n,m,i,j,k;
    for(i = 0;i<18;i++)
    inf*=10;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(b,0,sizeof(b));
        for(i = 0;i<=m;i++)
        {
            a[0][i] = 1;
        }
        for(j = 1;j<=m;j++)
        {
            for(i = 1;i<=n;i++)
            {
                if(i<j)
                {
                    a[i][j] = a[i][j-1];
                    b[i][j] = b[i][j-1];
                    continue;
                }
                b[i][j] = b[i-j][j]+b[i][j-1]+(a[i-j][j]+a[i][j-1])/inf;//处理大数前面的部位，当超过__int64时，就开始存入b数组，因为__in64是9.22..*10^18次方，下面的式子保证了两个a想加必定不超过__in64
                a[i][j] = (a[i-j][j]+a[i][j-1])%inf;//保留后面的部位
            }
        }
        if(b[n][m])
        printf("%I64d",b[n][m]);
        printf("%I64d\n",a[n][m]);

    }


    return 0;
}