NUC 1041 - 数字三角形

Difficulty: easy

Algorithms: Dynamic Programming

Source: http://acm.nuc.edu.cn/OJ/problem.php?pid=1041

Solution Description: 这是一个简单的动态规划问题。设d(i, j)表示第从（i，j）出发时能得到的最大的和（包括（i，j）本身），这样状态转移方程为：d(i, j) = a(i, j) + max{d(i + 1, j), d(i + 1, j + 1)}，最后结果就是d(1, 1)可以用递推计算，也可用记忆化搜索，时间复杂度为O(n²)。由于此题不涉及路径打印，也可以把d（i, j）用一维数组来表示，自底向上计算，最后d(1)就是所要求的结果，这样能节省空间开销。

 

递推求解：

 

for(i = 1; i <= n; i++)  //初始化

            d[n][i] = num[n - 1][i];

        for(i = n - 1; i > 0; i--)

            for(j = 1; j <= i; j++){

                d[i][j] = num[i][j] + (d[i + 1][j] >? d[i + 1][j + 1]);

            }

 

记忆化搜索：

 

memset(d, -1, sizeof(d));

int df(int i, int j)

{

    if(d[i][j] >= 0)

        return d[i][j];

    return d[i][j] = num[i][j] + (i == n - 1 ? 0 : df(i + 1, j) >? df(i + 1, j + 1));

}

 

一维数组：

 

for(i = 1; i <= n; i++)

            d[i] = num[n][i];

        for(i = n - 1; i > 0; i--)

            for(j = 1; j <= i; j++)

                d[j] = ((d[j] >? d[j + 1]) + num[i][j]);

        cout<<d[1]<<endl;