一个图的两棵最小生成树，边的权值序列排序后结果相同

 

把一个连通无向图的生成树边按权值递增排序，称排好序的边权列表为有序边权列表，则任意两棵最小生成树的有序边权列表是相同的。（算法导论23.1-8）

 

证： 设最小生成树有n条边，任意两棵最小生成树分别称为A, B, 如果e是一条边，用w(e)表示该边的权值。

A的边按权值递增排序后为a1, a2,……an   w(a1)≤w(a2)≤……w(an)

B的边按权值递增排序后为b1, b2,……bn  w(b1)≤w(b2)≤……w(bn)

设i是两个边列表中，第一次出现不同边的位置，ai≠bi

不妨设w(ai)≥w(bi)

情形1  如果树A中包含边bi，则一定有j>i使得  bi=aj ,事实上,这时有 w(bi)=w(aj)≥w(ai) ≥w(bi) 故 w(bi)=w(aj)=w(ai)，在树A的边列表中交换边ai和 aj的位置并不会影响树A的边权有序列表，两棵树在第i个位置的边变成同一条边。

情形2  树A中并不包含边bi，则把bi加到树A上，形成一个圈，由于A是最小生成树，这个圈里任意一条边的权值都不大于w(bi) ，另外，这个圈里存在边aj不在树B中。因此，有w(aj)≤w(bi)，且j>i (因为aj不在B中)。于是，有w(bi)≤w(ai)≤w(aj)≤w(bi)，因此 w(ai)= w(aj) = w(bi)。那么在树A中把aj换成bi仍然保持它是一棵最小生成树，并不会影响树A的边权有序列表，并且转换成情形1。