一个图的两棵最小生成树,边的权值序列排序后结果相同

本文探讨了任意两棵最小生成树的有序边权列表相同这一特性,通过两种情形的详细论证,证明了该结论的有效性。

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把一个连通无向图的生成树边按权值递增排序,称排好序的边权列表为有序边权列表,则任意两棵最小生成树的有序边权列表是相同的。(算法导论23.1-8)
 
证: 设最小生成树有n条边,任意两棵最小生成树分别称为A, B, 如果e是一条边,用w(e)表示该边的权值。
A的边按权值递增排序后为a1, a2,……an   w(a1)≤w(a2)≤……w(an)
B的边按权值递增排序后为b1, b2,……bw(b1)≤w(b2)≤……w(bn)
设i是两个边列表中,第一次出现不同边的位置,ai≠bi
不妨设w(ai)≥w(bi)
情形1  如果树A中包含边bi,则一定有j>i使得  bi=aj ,事实上,这时有 w(bi)=w(aj)≥w(ai) ≥w(bi) 故 w(bi)=w(aj)=w(ai),在树A的边列表中交换边ai和 aj的位置并不会影响树A的边权有序列表,两棵树在第i个位置的边变成同一条边。
情形2  树A中并不包含边bi,则把bi加到树A上,形成一个圈,由于A是最小生成树,这个圈里任意一条边的权值都不大于w(bi) ,另外,这个圈里存在边aj不在树B中。因此,有w(aj)≤w(bi),且j>i (因为aj不在B中)。于是,有w(bi)≤w(ai)≤w(aj)≤w(bi),因此 w(ai)= w(aj) = w(bi)。那么在树A中把aj换成bi仍然保持它是一棵最小生成树,并不会影响树A的边权有序列表,并且转换成情形1。

 

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