费马小定理，拓展欧几里得求逆元。zzuli 2180

最新推荐文章于 2025-03-16 12:26:15 发布

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本文介绍了模意义下的逆元概念及求解方法，包括费马小定理的应用和拓展欧几里得算法，并通过一道例题展示了如何在实际问题中应用这些理论。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

逆元:在mod m的运算下，像满足

a x % m = 1

$ax\%m = 1$ 这样的求解出的x，我们称作a的逆元即

a - 1

$a^{-1}$
首先简介费马小定理传送门
对于p是素数时，任意正整数都有

(x p) % p = x

$(x^p)\%p= x$
然后可以推出

(x p - 1) % p = 1

$(x^{p-1} ) \%p = 1$

最后可以变形得到

x - 1 % p = x p - 2

$x^{-1} \% p = x^{p-2}$
所以我们对于一个数求x^(p-2)就是他的逆元.

拓展欧几里得的做法，也很显然，就是求解ax + km = 1中的x就是a的逆元。

例题zzuli 2180 传送门

这个题就是求一个等比数列的前n项和，直接套用公式，不过在公式最后一部分处罚的时候要求一下逆元
代码如下

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<set>
#include<queue>

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = (ll)1e9+7;
ll Quick_pow(ll x,ll n){
    ll res = 1;
    while(n){
        if(n&1) res = res%mod*x%mod;
        x = x%mod*x%mod;
        n = n >> 1;
    }
    return res;
}
ll extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    ll res = 0;
    if(b != 0) {
        res = extgcd(b,a%b,y,x);
        y -= (a/b)*x;
    }else{
        x = 1;y = 0;
    }
    return res;
}
ll mod_inverse(ll a,ll m){
    ll x,y;
    extgcd(a, m, x, y);
    return (m + x%m)%m;//这里是为了保证x是最小的正整数
}
int main(void){
    ll k,n,Case = 0;
    while(scanf("%lld %lld",&k,&n) != EOF){
        printf("Case %lld: ",++Case);
        if(k == 1)  printf("%lld\n",n+1);
        else{
            ll p = Quick_pow(k,n+1) - 1;
            ll q = k - 1;
   //         ll x,y;
       //     ll b = Quick_pow(q,mod-2);
            ll add = mod_inverse(q,mod);
            printf("%lld\n",(p%mod)*add%mod);
        }
    }

    return 0;
}
/**************************************************************
    Problem: 2180
    User: zhao5502169
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:0 ms
    Memory:1368 kb
****************************************************************/