扩展欧几里得算法求逆元（公式推导）

最新推荐文章于 2024-03-24 21:40:40 发布

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#算法

本文介绍了如何使用贝祖定理和扩展欧几里得算法求解两个数的模逆问题，通过递归计算最大公约数和逆元，并提供了C++代码实现。

1.公式推导

假设现在有两个数x，y，求x mod y的逆元。

1.贝祖定理：任意两个整数a,b,最大公约数为d=gcd(a,b),那么对于任意的整数x,y，ax+by=m,构成的m一定是d的整数倍(即m%d=0)。

2.设第一个等式为ax0+by0=gcd（x0，y0），第二个等式为bx1+（a%b）y1=gcd(b,a%b),则x0=y1，y0=x1-（a/b）y1，详细推导见下图。

3.最后返回的gcd一定等于1，否则逆元不存在。

4.当y=0时，x=1，a=1（此时a是最大公约数）。

2.代码

int extendedGCD(int a, int m, int& x, int& y) {
    if (m == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

    int x1, y1;
    int gcd = extendedGCD(m, a % m, x1, y1);
    //得到上一个x0和y0
    x = y1;
    y = x1 - (a / m) * y1;

    return gcd;
}

// 计算逆元
int modInverse(int a, int m) {
    int x, y;
    int gcd = extendedGCD(a, m, x, y);

    if (gcd != 1) {
        // 如果最大公约数不是 1，则没有逆元
        std::cerr << "逆元不存在，因为最大公约数不是1。" << std::endl;
        return -1;
    }

    // 确保逆元为正数
    retu