二维差分

我们有一个矩阵，如下图所示。

根据二维前缀和表示的是右上角矩形的和，由于差分只涉及前面相邻的数（由一维可以推出），并且由前面范围的数相加得到这个位置的数。那么类比二维前缀和和一维差分，可以简单推测出二维差分的公式（a为原矩阵数组，p为差分数组）

p[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]

如何从差分矩阵得到原矩阵呢？可以参考下面公式
（对差分数组求前缀和得到原数组）

a[i][j] = p[i][j]+p[i-1][j]+p[i][j-1]-p[i-1][j-1]

应用
　如果我们要在左上角是 (x1,y1)，右下角是 (x2,y2) 的矩形区间每个值都 +a，如下图所示
在我们要的区间开始位置（x1,y1）处 +c，根据前缀和的性质，那么它影响的就是整个黄色部分，多影响了两个蓝色部分，所以在两个蓝色部分 -c 消除 +c 的影响，而两个蓝色部分重叠的绿色部分多了个 -c 的影响，所以绿色部分 +c 消除影响。所以对应的计算方法如下：

diff[x1][y1] += c;
diff[x1][y2+1] -=c;
diff[x2+1][y1] -=c;
diff[x2+1][y2+1] += c;

模板题
题目描述
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1，y1，x2，y2，c，其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入
第一行包含整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1，y1，x2，y2，c，表示一个操作。

输出
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

样例输入
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
样例输出
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
数据范围
1 ≤ n, m ≤ 1000,
1 ≤ q ≤ 100000,
1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ n,
1 ≤ y1 ≤ y2 ≤ m,
−1000 ≤ c ≤ 1000,
−1000 ≤ 矩阵内元素的值 ≤ 1000

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int MAXN = 1e3+6;
const int MAXM = 1e3+6;
int a[MAXN][MAXM] = {};
int diff[MAXN][MAXM] = {};
 
int main() {
    int n,m,q;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
 
    int i, j;
    for (i=1; i<=n; i++) {
        for (j=1; j<=m; j++) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            diff[i][j] = a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];
        }
    }
 
    for (i=0; i<q; i++) {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        diff[x1][y1] += c;
        diff[x1][y2+1] -=c;
        diff[x2+1][y1] -=c;
        diff[x2+1][y2+1] += c;
    }
 
    for (i=1; i<=n; i++) {
        for (j=1; j<=m; j++) {
            diff[i][j] += diff[i-1][j]+diff[i][j-1]-diff[i-1][j-1];
            printf("%d ", diff[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
 
    return 0;
}

激光炸弹
code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 6e3;
int n, r, res, ans;
int sum[N][N];
int main()
{
    cin >> n >> r;
    int tx = r, ty = r;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int x, y, v;
        cin >> x >> y >> v;
        x++; y++;
        tx = max(tx, x);
        ty = max(ty, y);
        sum[x][y] = v;
    }
    for(int i = 1; i <= tx; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= ty; j++)
        {
            sum[i][j] += sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1];
        }
    }
    for(int i = r; i <= tx; i++)
    {
        for(int j = r; j <= ty; j++)
        {
            ans = max(ans, sum[i][j] - sum[i-r][j] - sum[i][j-r] + sum[i-r][j-r]);
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}