分解质因数

原创于 2021-02-22 11:27:43 发布 · 127 阅读

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该博客主要介绍了如何通过分解质因数的方法找到最小的正整数n，使得n的阶乘能被给定的整数p整除。通过二分搜索在1到p之间找到符合条件的n，并提供了相应的C++代码实现。

分解质因数
思路
若整数 $a$ 是整数 $b$ 的倍数，则 $a$ 的每个质因数的幂次一定要大于等于对应的 $b$ 的每个质因数的幂次。
对于本题，要求最小的整数n,使得n的阶乘是p的倍数，则可以先对n的阶乘分解质因数，判断是否n阶乘的质因数的幂次大于p的质因数的幂次。在1~p中二分n的值即可。

ll factory(ll n, ll s) { //n！对素数s的求解
    ll sum = 0;
    while (n) {
        n /= s;
        sum += n;
    }
    return sum;  //返回幂
}

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 1e5+5;
ll t, p, prime[N], c[N], m;
void divide(ll n)//对n分解质因数
{
    m = 0;
    for(ll i = 2; i <= sqrt(n); i++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            prime[++m] = i;
            c[m] = 0;
            while(n % i == 0)
            {
                n /= i;
                c[m]++;
            }
        }
    }
    if(n > 1)
    {
        prime[++m] = n;
        c[m] = 1;
    }
    /*for(int i = 1; i <= m; i++)
        cout << prime[i] << ' ' << c[i] << endl;*/
}
bool valid(ll x)
{
    for(ll i = 1; i <= m; i++)
    {
        ll n = x, cnt = 0;
        while(n)
        {
            cnt += n / prime[i];
            n /= prime[i];
        }
        if(cnt < c[i])
            return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        memset(prime, 0, sizeof(prime));
        memset(c, 0, sizeof(c));
        cin >> p;
        divide(p);
        ll l = 1, r = p;
        while(l < r)
        {
            ll mid = (l + r) >> 1;
            if(valid(mid))
                r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }
        cout << r << endl;
    }
    return 0;
}