牛顿迭代法

牛顿迭代法

牛顿法的作用是使用迭代的方法来求解函数方程的根。简单地说，牛顿法就是不断求取切线的过程。

对于形如$f(x)=0$的方程，首先任意估算一个解$x_0$，再把该估计值代入原方程中。由于一般不会正好选择到正确的解，所以有$f(x)=a$。这时计算函数在$x_0$处的斜率，和这条斜率与x轴的交点$x_1$。

$f(x)=0$中精确解的意义是，当取得解的时候，函数值为零（即$f(x)$的精确解是函数的零点）。因此，$x_1$比$x_0$更加接近精确的解。只要不断以此方法更新x，就可以取得无限接近的精确的解。

但是，有可能会遇到牛顿迭代法无法收敛的情况。比如函数有多个零点，或者函数不连续的时候。

由上图可知，$\frac{f(x_n)}{x_n-x_{n+1}}=f^{\prime }(x)$
所以$x_{n+1}=x_n$ $-$ $\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$
例题
添加链接描述
code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
typedef long long ll;
ll a, b, c;
double x;
int main() 
{
    cin >> a >> b >> c;
    x = 1.0;
    while(fabs(pow(x, a) + b * log(x) - c) >= 1e-7)
        x -= (pow(x, a) + b * log(x) - c) / (a * pow(x, a-1) + b/x);
    cout << setprecision(14) << fixed << x << endl;
    return 0;
}