数据结构与算法：二维前缀和、二维差分及离散化技巧

前言

有一维的前缀和以及差分当然有二维的~

一、二维前缀和

1.内容

二维前缀和就是求二维数组上从（0,0）位置到（i,j）位置的累加和。

2.模板——二维区域和检索 - 矩阵不可变

class NumMatrix {
public:
    vector<vector<int>>sum;

    NumMatrix(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n=matrix.size();
        int m=matrix[0].size();
        sum.resize(n+2,vector<int>(m+2,0));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                sum[i][j]=matrix[i-1][j-1];
            }
        }

        //二位前缀和
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                sum[i][j]+=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1];
            }
        }
    }
    
    int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
        row1++;
        row2++;
        col1++;
        col2++;
        return sum[row2][col2]-sum[row2][col1-1]
        -sum[row1-1][col2]+sum[row1-1][col1-1];
    }
};

二维前缀和的求法就是，自己+左+上-左上。

此外，若想求点（a,b）到（c,d）区间上的累加和，求法就是在前缀和数组中，求（c,d）-（c,b-1）-（a-1,b）+（a-1,b-1）即可，具体原理就是一个容斥原理，大的矩形减去左边和上边两个小矩形，再加上左上角多减去一次的小矩形。

3.最大的以 1 为边界的正方形

class Solution {
public:
    int largest1BorderedSquare(vector<vector<int>>& grid) {
        int n=grid.size();
        int m=grid[0].size();

        build(n,m,grid);

        if(sum(0,0,n-1,m-1,grid)==0)
        {
            return