文章介绍了微分学中的莱布尼兹公式，用于计算函数的高阶导数，以及如何通过莱布尼兹公式求解特定函数的导数。还探讨了无穷小的概念，包括等价无穷小和无穷小的分级，以及如何利用无穷小来比较函数的近似精度。此外，提到了如何通过微分来估计误差和计算某些特殊函数的导数。
三角函数公式推导3
仅在少数情形中我们可以确定它，例如，对于二次函数f(x)=ax +bx+c,很容易验证θ=1/2
1.函数的增量的公式
现在这里证明两个简单的命题，它们在以后是有用处的, 设函数y=f(x)是在区间Ж内定义着的。
从这个区间内的一个固定值x=x 出发，用△x＞0或△x＜0表示x的任意增量，
0
但需限制x +△x使不超出Ж的范围之外。
0
于是对应的函数的增量就是
△y=△f(x )=f(x +△x)-f(x )
0 0 0
1.若函数y=f(x)在点x 处有（有穷的）导数y =f(x ),则函数的增量可以表示为如下的
0 x 0
形式
△f(x )=f(x )*△x+α*△x (2) 0 0 或更简短的 △y=y △x+α△x (2a)
x
式中的α是依赖于△x的量，切随着△x一同趋近0, 因为由导数的定义，在△x→0时
△y
→ y △x x 故令 △y α= → y
△x x
把y 移动方程左边，得 x △y α+y =
x △x
方程两端同乘以△x,得
α△x+y △x=△y x 就看出也有α→0.由此解出△y，即得公式（2a), 因为量α*△x（在△x→0时）是较△x更高级的无穷小. 故使用在《无穷小的比较》内引入的记法，我们的公式就可以改写成为. 关于无穷小的比较可见无穷小的比较描述页. △f(x )=f(x )*△x+o(△x) （3）
0 0
或
△y=y *△x+o(△x) （3a） x 上式中o(△x)=α*△x 注：若无穷小β是比无穷小α更高级的，则这一事实就可以写成： β=o(α) 例如，可以写 1-cosx=o(x).tgx-sinx=o(x）等等 这样，o(α)就可以作为比α更高级的无穷小的普遍记号。我们以后就要应用这种方便的记法. 附注，到现在为止，我们算作△x＞0或△x＜0，故量α在△x=0是不曾定义的, 当我们说在△x→0时α→0，必已预先假设（像通常那样）△x系依任何规律趋于0，但并不取得0值. 现在就令在△x=0时α=0，那时公式（2）在△x=0时自然仍为有效. 然除此以外，△x→0时α→0这一关系却可比以前得到更广义的理解. 就是在△x趋于0的过程中，它也可以取等于0的数值了. 由已证明的公式直接推得. 2.若函数y=f(x)在点x 处有（有穷的）导数，则函数在这点必然是连续的 0 实因，由（2a），很清楚地，由△x→0的关系就立即引出△y→0 107.微分是近似公式的来源 我们已经看到，在△x→0时函数y的微分dy（只要y ≠0）是函数的无穷小增量△y的主
x
部。这样△y~dy，于是
△y≈dy （3）
上面的描述表明，当x的增量△x趋近于0时，函数y的微分dy就会约等于函数y的增量△y，前提是函数y对于x的导数的值不为0。或许更详细一点
△f(x )=f(x +△x)-f(x )≈f(x )*△x （3a）近似等式 0 0 0 0 其不准确度是较△x更高级的无穷小。 就是说等价无穷小中的 γ=o(α) 及 γ=o(β) 这个等式的相对误差可以小到任意程度，只要△x充分小. 注：等价无穷小的推导可见等价无穷小的推导页 考察一个简单的例子：设 3 y=x 则 3 2 2 3 △y=(x +△x) -x =3x *△x+3x *△x +△x 0 0 0 0 而成为△y的线性部分的（象我们在前面曾用普遍形式所确定的那样）实际上就是微分 2 dy=3x *△x=y △x
0 x
具体的假定
x =2.3
0
若取△x=0.1,那么就有
3 3 2
△y=2.4 -2.3 =1.657 及dy=32.3 *0.1=1.587
，于是由第一数换成第二数时的误差是0.070，而相对于误差超过4%。在△x=0.01时得△y=0.159391及dy=0.1587,所得相对误差已小于0.5%.在△x=0.001时，相对误差小于0.05%，余次类推. 类似的状况可以从图44微分的几何说明直接看出。在图线上很明显地可以看出，若我们把曲线的纵标的增量换成切线的纵标的增量. 则在△x越小时这种替换的相对性准确度就越大. 图44可以查可微性与导数存在之间的关系.
x
K
dy △y
M α N
α △x
o T x x~△x y
图44
为着要用几何图形说明函数y=f(x)的微分dy及它与增量△y的关系，试参考这函数的图线（44）. 变元的数值x及函数的数值y确定着曲线上的一点M。在曲线上的这一点处引切线MT，正如我们看到的[92]导数的定义，它的斜率tgα等于导数y.若给横标x以增量△x，则曲线的纵标y就的增量△y=NM1。同时切线的纵标就得增量NK。把NK看做直角三角形MNK的一直角边而计算其长度，就得出 NK=MN*tgα=y △x=dy
x
因此，当△y是曲线的纵标的增量时，dy就是切线的纵标的对应增量. 最后再讨论到自变量x本身：称为它的微分的就是增量△x，即约定.
dx=△x
读者自能明了，把函数的增量△y换成它的微分dy时，其好处在于dy对于△x是线性关系，而△y通常确是△x的很繁复的函数. 若假定△x=x-x ,而x +△x=x
0 0
则等式（3a)的形式就成为
f(x)-f(x )≈f(x )*(x-x ) 或f(x)≈f(x )+f(x )(x-x )
0 0 0 0 0 0
依这公式，在接近于x 的x的数值，函数f(x)可以用一线性函数近似地来替换。
0
在几何上，这对应将邻接于点（x ,f(x ))的曲线y=f(x)的小段改以曲线在这点的切线的小
0 0
段来代换, 曲线y约等于曲线上的各点x的切线的小段的和，见图（66）
y
o x
图（66）
这切线表示为
y=f(x )+f(x )*(x-x ) 0 0 0 参阅图44, 注：事实上，经过点（x ,y ）而有斜率k的直线方程是 0 0 y=y +k(x-x ) 0 0 在切线的情形，应置 y =f(x ) , k=f(x )
0 0 0
所以 y=f(x )+k(x-x )=f(x )+f(x )*(x-x ) 0 0 0 0 0 为简单起见，取x =0，并限于x的微小数值，就有近似公式： 0 f(x)≈f(0)+f(0)x
上面的方程表示函数f(x)的图像和x轴相交，即
x =0,f(x ）=f(0）=k
0 0
所以
f(x)≈f(0)+kx=f(0)+f(0)*x 由此，用各种初等函数代换这里的f(x)，很容易获得一系列的公式 μ (1+x) ≈1+μx, ,特别情形 1 1+x ≈1+ x 2 x e ≈1+x , ln(1+x)≈x, sin x≈x, tg x≈x ,于类推，它们之中有很多是我们已经知道的 μ μ μ (1+x) ≈(1+0) +f(1+0) x=1+μx
μ*3
μ 3 3 μ*3
(1+x) =(1+x) =( (1+x) )
1 μ*(μ+1)
≈(1+ *x)
μ+2
1 μ μ+1
=((1+ *x) )
μ+2
1 μ+1
=(1+ *μ*x)
μ+2
μ μ+1
(1+x) =1+ *μ*x
μ
2
(1+1) =4
μ μ+1.5
(1+x) =(1+ *μ*x)
μ-1
3
(1+1) =7.75
模拟计算机利用下面的公式将乘方电路化成乘法电路。
μ μ+2 μ-1.5
(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x)
μ-2 μ
4
(1+1) =13+3.5
16
μ μ+8 μ
(1+x) =(1+ μx)+(1+ μx)
μ-2 μ-2
5
(1+1) =22.66666+9.333333
32
μ μ+12 μ+1 μ-4
(1+x) =(1+ μx)+(1+ μx ) - ((1+ μx) )
μ-4 μ-2 μ+1
6
(1+1) =55+11.5-2.71428
64
μ μ+24 μ+8 μ-5
(1+x) =(1+ μx)+(1+ μx ) - ((1+ μx) )
μ-5 μ-2 μ+1
7
(1+1) =109.5+22-2.75
128
μ μ+50 μ+10
(1+x) =(1+ μx)+(1+ μx)
μ-6 μ-2
8
(1+1) =232+24
256
μ μ+50 μ+10
(1+x) =(1+ μx)+(1+ μx)
μ-6 μ-2
8
(1+1) =232+24
256
μ μ+90 μ+30
(1+x) =(1+ μx)+(1+ μx)
μ-7 μ-4
9
(1+1) =441+70.2
512
μ μ+180 μ+36 μ-8
(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ-7 μ-4 μ+1
10
(1+1) =951+77.66666-2.8118181
1024
可以由下面的式子组成模拟计算机的电路计算幂函数。也可以使用模拟计算机用下面的方法计算一个数的开方
1 1*10
2 1 2
(1+x) ≈(1+ *x)
10
1 1*3
2 1 2
(1+x) ≈(1+ *1)
3
3 3
1 4 1 4
≈(1+ ) * (1+ )
3 3
1 3 1 3
≈(1+ * ) * (1+ * )
3 4 3 4
5 5
≈ *
4 4
25
≈
16
≈ 1.7857
很容易利用数学归纳法证明下列等式成立，可以由下面的式子组成模拟计算机的电路计算幂函数。
μ 1 μ 1 μ-1
(1+x) =(1+ μx) +(1+ μx)
μ+1 μ+3
2
(1+1) =2.7777+1.4
4
μ 1 μ+1 1 μ-2
(1+x) =(1+ μx) +(1+ μx)
μ+2 μ+4
3
(1+1) =6.4+1.4285
8
μ 1 μ+2 1 μ-3 1 μ-5
(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ+3 μ+5 μ+6
4
(1+1) =15.0580+1.4444-0.71428
16
μ 1 μ+2 1 μ 1 μ-1
(1+x) =(1+ μx) +(1+ μx ) - ((1+ μx) )
μ+4 μ+6 μ+7
1 μ-6
-(1+ *μ*x)
μ+8
5
(1+1) =22.0393+6.5108+4.02782-0.72222
32
μ 1 μ+3 1 μ+1 1 μ-7
(1+x) =(1+ μx) +(1+ μx ) - ((1+ μx) )
μ+5 μ+7 μ+8
6
(1+1) =50.298359+14.2453-0.7000
64
μ 1 μ+4 1 μ 1 μ-8
(1+x) =(1+ μx) +(1+ μx ) - ((1+ μx) )
μ+6 μ+8 μ+9
7
(1+1) =114.273+14.59889-0.69565
128
μ 1 μ+4 1 μ+3 1 μ-1
(1+x) =(1+ μx) +(1+ μx ) - ((1+ μx) )
μ+7 μ+9 μ+11
1 μ-6
-(1+ *μ*x)
μ+9
8
(1+1) =168.9036+69.566789-4.02782
256
μ 1 μ+5 1 μ+4 1 μ
(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ+8 μ+10 μ+12
1 μ-10
-(1+ *μ*x)
μ+11
9
(1+1) =383.126+154.6171-24.78093-0.55
512
μ 1 μ+6 1 μ+3 1 μ-9
(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ+9 μ+11 μ+11
10
(1+1) =867.5816+158.0706-1.4761
1024
μ 1 μ+6 1 μ+5 1 μ+4
(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ+10 μ+12 μ+14
1 μ-9
-(1+ *μ*x)
μ+15
11
(1+1) =128.72+520.0167+237.3763+2.02514
2048
μ 1 μ+7 1 μ+5 1 μ+4
(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )
μ+11 μ+13 μ+15
1 μ-10
-(1+ *μ*x)
μ+16
12
(1+1) =2913.8283+784.2403+359.0984+2.0
4096
,于类推，它们之中有很多是我们已经知道的
μ μ μ
(1+x) ≈(1+0) +f`(1+0) x=1+μx
μ*3
μ 3 3 μ*3
(1+x) =(1+x) =( (1+x) )
1 μ*(μ+1)
≈(1+ *x)
μ+2
1 μ μ+1
=((1+ *x) )
μ+2
1 μ+1
=(1+ *μ*x)
μ+2
再引入一些其他类型的近似公式的例子，它们也是根据等式（3）得来的, 1）设有两端悬挂着的有重量的线（电线，锚索，皮带），用2s表示其长度，用2l表示跨度，用l表示垂度（图45），则在求s时经常应用着（近似公式）
2
2 f
s=l(1+ * )
2
3 1
现在把数量f当作自变量，而把s当作f的函数。要求建立长度s的改变量△s与垂度f的改变量△f之间的关系. 把△s换成ds，就得
2
2 f
△s=l(1+ * )= f(0)+f`(0)*f
3 1
2
2 0 2 2
= 1+ * +(0+ * * △f)*f
3 1 3 1
2 2
= * △ff
3 1
4 f
= * *△f
3 1
4 f
由此，△f≈ * *△f
3 1
例如，若能估计到电线由于温度或负荷所引起的长度的变动，就可以由此而预见到垂度的变动.
l
f
图45
α
△x
x +m m
N S
图46
2）已知圆形电路（图46）作用于其轴上与中心O距离x的单位磁极的力是
k
3
2 2 2
（α +x ）
此处k是常系数，α是半径。试求此圆形电路作用于沿轴放置的长度为△x的磁铁NS的力。这时算作在N极集中着正磁量m，而在s极集中着与它相等的负磁量-m. 电流作用于磁铁的总力F可表示为：
km km
F= -
3 3
2 2 2 2 2 2
（α +x ） [α +(x+△x） ]
1
=-km *△[ ]
3
2 2 2
（α +x ）
用函数的微分代换它的增量[假定△x很微小]，就得
1
F≈-km d[ ]
3
2 2 2
（α +x ）
x
=3km △x[ [ ]
5
2 2 2
（α +x ）
108.应用微分来估计误差
应用微分概念于近似算法中的估计误差，是特备方便而且自然的. 例如设数量x可以直接度量或计算，而依赖它的数量y则以公式y=f(x)来决定. 在度量数量x时通常发生误差△x，它就引起数量y的误差△y。由于这些误差是微小数量，可以假定.
△y=y *△x x 即用微分代替增量。设δ是x的最大绝对误差：｜△x｜≤δx 在通常的条件下，此类度量时的误差限度是可以知道的。那时显然可以采用 δy=｜y ｜*δx （12）
x
作为y的最大绝对误差（误差的限度）。
1)例如，设要确定球的体积，首先（用游标测径器，公差仪，螺旋测径器）直接来量球的直径D，再依公式
π 3
V= D
6
计算体积V
因为
π 2
V = D D 2 ,所以在这情形，根据（12） π 2 δV= D *δD 2 用前式除这等式就得， δV δD = 3 V D 因此有计算得来的体积的（最大的）相对误差比由量度得来的直径的（最大的）相对误差大两倍. 2）设得到x有一误差，则由x而求它的以十为底的对数y=log x时，依旧造成y的误差, 在此处 M y = (M≈0.4343），于是以公式（12）
x x
δx
δy=0.4343*
x
这样，x的对数y的（最大）绝对误差就单纯的依数x本身的（最大）相对误差而确定，反过来说亦正确. 这结果有各种各样的应用。例如，借此可以获得关于常用的25厘米=250毫米对数尺的准确度的概念。在放置瞄准器或读数时可能发生错误，例如在这一方或另一方错误0.1毫米，则在对数上对应这误差.
0.1
δy= =0.0004
250
由此，依我们的公式
δx 0.0004
= = 0.00092...≈0.001
x 0.4343
读数的相对准确度在算尺的任何部分是相同的.
3）在以三角函数的对数表而求角ψ时发生这样一个问题，用正弦表或正切表哪一种更为有利。假定
y =log sin ψ,及y =log tg ψ,
1 2
并且假定最大误差δy 及δy 是相等的（就是说，等于数标的末尾数字的一半）
1 2
若用δ ψ及δ ψ表示角ψ的对应的最大误差，则同上面一样，就得
1 2
因为
y =log x , x =sin ψ,
1 1 1
M
y` = (M≈0.4343）
1 x
所以
M M
δy = *x` = * cos ψ *δ ψ
1 sin ψ 1 sin ψ
因为
y =log x , x =tg ψ,
2 2 2
M
y` = (M≈0.4343）
2 x
所以
M M 2
δy = *x` = * sec ψ *δ ψ
2 tg ψ 2 tg ψ 2
2
于是 δ ψ =δ ψ*cos ψ<δ ψ
2 1 1
由此可见，在对数值有同等的错误时，正切对数表所给出的角比正弦对数表所给出的角有较小的误差，因此用前者就是更有利的, 注：在这种算法时，我们假定角是用弧度表示着的。 但是显然，不论量角度时用那一种单位，结果总是正确的.
4）作为最后一个例题，考察用惠司登电桥（图47）量未知电阻y的准确度的问题。
B
y A R
电流表
A R1 R2 C
图47
在这时，把接触器D沿着刻度尺AC移动，直至电流计指出没有电流通过为止。
确定电阻y的公式是：
Rx
y= (13)
a-x
此处a=AC,x=AD，R是支线BC上的已知电阻。依公式（12），就得出：
Rx aR
δy=( )`*δx= *δx (13)
a-x (a-x)
若在这等式两端各用等式（13）两端来除，就得y的（最大）相对误差的表达式：
δy a*δx
=
y x(a-x)
因为分母x(a-x)在x=a/2时达到自己的最大数值。
注：由明显的不等式
2
2 a a
x -ax+ =(x- )≥0
4 2
直接可得
2
a
x(a-x)≤
4
这就证明了我们的命题. 而在度量长度时误差δx可以当做是并不依赖于x，所以正是在x=a/2时相对误差达到最小值。因此，为着获得尽可能准确的结果，设置电阻R时（用电阻箱）总要想法使得当电流消失时接触器D的位置尽可能的更接近于尺AC的中点。
第九部分莱布尼兹公式
116.任意阶导数的普通公式
一般说来要计算任何函数的n阶导数，必须预先求出前面一切阶的导数。然而在有许多情形，却能顺利地建立n阶导数的普遍式，它直接依赖着n，而不再包含前面各阶导数的记号。在推导这种普遍式时，下列公式有时是有用处的：
(n) (n) (n) (n) (n)
(cu) =c*u ,(u±v) =u ±v
它们是读者所已经知道的求导数的几个简单法则Ⅰ和Ⅱ推广到高阶导数时的结果。详细内容可以查询求导数的几个简单法则。逐次地应用这些法则，就很容易得出它们。
μ
1）首先考察幂函数y=x , 其中μ是任何实数。我们依次有。
μ-1 μ-2 μ-3
y=μx ，y``=μ(μ-1)x ，y```=μ(μ-1)(μ-2)x ，… 由此也很容易看出普遍的规律： (n) μ-n y =μ(μ-1)...(μ-n+1)x 但严格说来，它必须再加证明。 为此可以利用数学归纳法。 假设在n的某一数值时这公式是对的，再微分它一次，我们就得到： (n) (n+1) μ-n [y ]=y =μ(μ-1)…(μ-n+1)[x ]`=
μ-(n+1)
=μ(μ-1)…(μ-n+1)(μ-n)x
因此，如果我们的公式对于n阶导数时是对的，则对于（n+1)阶导数也是对的。由此也就推得它对于一切自然数n的数值是正确的。例如，若取μ=-1，则得
n
1 (n) (-1) *n!
( ) =(-1)(-2)…(-n)x =
n+1
x x
而在μ=-1/2时
1 (n) 1 3 2n-1 -1/2-n
( ) =(- )(- )…(- )x
x 2 2 2
n
(-1) (2n-1)!!
=
n
(2x) x
余依次类推
注：记号n!!表示自然数的连乘积，这些自然数不超过n并且每两数间的差都是二，例如.
m
当μ本身是自然数m时，则x 的m阶导数已经就是常数m!，而一切以后的导数就都是零。
由此，明显可知，对于m次整多项式亦有相似的情况。
2）对于略为普遍的一些式子
μ
y=(a+bx) (a,b=常量)
仍旧很容易求出：
(n) n μ-n
y =μ(μ-1)…(μ-n+1)*b *(a+bx)
特别情形，同上面那样，得出
n n
1 (n) (-1) n!b
( ) =
a+bx n+1
(a+bx)
n n
1 (n) (-1) (2n-1)!!b
( ) =
a+bx n n
2 (a+bx) (a+bx)
3)今设y=ln x。首先有
y=(ln x)=1/x
由此式依1）内的对应公式取（n-1）阶导数，在它里面把n换成n-1，那时我们亦就得出
n-1
(n) (n-1) 1 (n-1) (-1) (n-1)!
y =(y) =( ) = x n x x 若y=a ,则 x x 2 y=a *ln a, y=a *(ln a) ,… 普遍公式 n x n y =a *(ln a) 很容易用数学归纳法证明。特别情形，显然有 x (n) x (e ) =e 假定y=sin x;则 Ⅳ Ⅴ y`=cos x, y=-sin x, y```=-cos x, y =sin x, y =cos x,…
由这一途径去求n阶导数的普遍式是比较困难的。但若把一阶导数的公式改写成
y`=sin(x+π/2)
事情就立刻简单化了, 很清楚的，每微分一次以后，就要在变元上加一个π/2, 于是
(n)
(sin x) =sin(x+n*π/2)
类似地又可得出公式
(n)
(cosx) =cos(x+n*π/2)
6)考察函数
1
y=
2 2
x -a
把它表示为
1 1 1
y= ( - )
2a x-a x+a
我们就有利用例2）（以及在开始时已经就指出的一般法则）的可能性。最后
n
1 (n) (-1) n! 1 1
( ) = [ - ]
2 2 2a n+1 n+1
x -a （x-a） （x-a）
ax
7)在函数y=e sin bx的情形
我们将利用更巧妙的方法。就是，有
ax ax
y`=ae sin bx+be cos bx
若引入由下列条件所定义的辅助角ψ
b
sin ψ= ,
2 2
a +b
a
cos ψ= ,
2 2
a +b
则一阶导数的表达式就可以改写成为
2 2 ax
y`= a +b e (sin bxcos ψ+cos bxsin ψ)
2 2 ax
= a +b *e *sin (bx+ψ)
重复地微分，很容易根据数学归纳法而建立普遍的规律
(n) 2 2 n/2 ax
y =（a +b ） *e *(sin bx+nψ)
8)再讨论函数y=arc tg x
(n)
首先让我们设法用y表示y .因为x=tg y,故
1 2
y= =cos y=cos y*sin(y+ π/2) 2 1+x 再关于x而微分它（并记作y是x的函数），则得 y``=[-sin y*sin(y+π/2)+ +cos y*cos(y+π/2)] *y
2
= cos y*cos(2y+π/2)
2
= cos ysin2(2y+π/2)
又一次的微分给出
2
y```=[-2sin ycos ysin2(y+π/2)+ 2cos ycos2(y+π/2)]*y`
3
= 2cos ycos(3y+2π/2)
3
= 2cos ysin3(y+π/2)
普遍的公式
（n） n
y =(n-1)!cos ysin n(y+π/2)
可由数学归纳法证明
若（在x>0时）引入角
1 π
z=arc tg = -y
x 2
则这公式可以改写成
（n） 1
y =(n-1)! *sin n (π-z)
2 n/2
(1+x )
或最后，
（n） n-1 1 1
y =(-1) (n-1)! *sin n *arc tg
2 n/2 x
(1+x )
8a)再讨论函数y=arc ctg x
(n)
首先让我们设法用y表示y .因为x=ctg y,故
1 2
y=- =-sin y=-sin y*cos(y+π/2) 2 1+x 再关于x而微分它（并记作y是x的函数），则得 y``=[-cos y*cos(y+π/2)- sin y*sin(y+π/2)] *y
2
= sin y*cos(2y+π/2)
2
= sin ycos2(y+π/2)
又一次的微分给出
2
y```=[2cos ysin ycos2(y+π/2)- 2sin ysin2(y+π/2)]*y`
3
= -2sin ycos(3y+2π/2)
3
= -2sin ysin3(y+π/2)
普遍的公式
（n） n
y =(n-1)!sin ysin n(y+π/2)
可由数学归纳法证明
若（在x>0时）引入角
1 π
z=arc ctg = -y
x 2
则这公式可以改写成
（n） 1
y =-(n-1)! *sin n (π-z)
2 n/2
(1+x )
或最后，
（n） n 1 1
y =(-1) (n-1)! sin n arcc tg
2 n/2 x
(1+x )
8b)再讨论函数y=arc sin x
(n)
首先让我们设法用y表示y .因为x=sin y,故
1 1 -1 -1
y`= = = cos y=(π/2-x)
2
1-x cos y
再关于x而微分它（并记作y是x的函数），则得
-2 -2
y``=sinycos y=x(π/2-x)
根据莱布尼兹公式
-2 -2 -3 -2 2 -3
y```= cosy* cos y- 2sin ycos y=(π/2-x)(π/2-x) -2x *(π/2-x)
-2 -3 2 -4
y```= -siny* cos y- 22cos ysinycos y-233cos y*cosy
-2 -2 2
y```= -siny* cos y- 22sin y cos y-233*cos y
-2 -2 -2
=-x*(π/2-x) -22x*(π/2-x) -233*(π/2-x)
普遍的公式
（n） -2 （n-2）
y = (sinycos y)
(n-2) -2 (n-3) -2 (n-2)(n-3) (n-4) -2
=(sin y) cos y+nsin y(cos y) ` + (siny) (cos y) `` +…+
12
(n-2)(n-3)…(n-2-i+1) (n-2-i) -2 (i)
(siny) (cos y) +…+
12…i
因为arc sinx=y
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f (0) n n
arc sin x=f(0)+ x+ x +…+ x +o(x ) (11)
1! 2! 3!
-1 -2 -2 2 -3
(π/2-0) 0*(π/2-0) 2 (π/2-0)*(π/2-0) -2*0 *(π/2-0) 3
arc sin x=f(0)+ x+ x + x
1! 2! 3!
-2 -2 -2
-0*(π/2-0) -220*(π/2-0) -233*(π/2-0)
+
4!
-1 -2 -2
(π/2) (π/2) *(π/2) 3 -2*3*3*(π/2) 4
arc sin x= x+ x + x
1! 3! 4!
8c)再讨论函数y=arc cos x
(n)
首先让我们设法用y表示y .因为x=cos y,故
1 1 -1 -1
y`=- =- =-sin y=-(π/2-x)
2
1-x sin y
再关于x而微分它（并记作y是x的函数），则得
-2 -2
y``=cosysin y=x(π/2-x)
根据莱布尼兹公式
-2 -2 -3 -2 2 -3
y```=- siny* sin y- 2cos ysin y=(π/2-x)(π/2-x) -2x *(π/2-x)
-2 -3 2 -4
y```= -cosy* sin y- 22sin ycosysin y-233sin y*sin y
-2 -2 -2
y```= -cosy* sin y- 22cos y sin y-233sin y
-2 -2 -2
=-x*(π/2-x) -22x*(π/2-x) -233*(π/2-x)
普遍的公式
（n） -2 （n-2）
y = (cosysin y)
(n-2) -2 (n-3) -2 (n-2)(n-3) (n-4) -2
=(cos y) sin y+ncos y(sin y) ` + (cosy) (sin y) `` +…+
12
(n-2)(n-3)…(n-2-i+1) (n-2-i) -2 (i)
(cosy) (sin y) +…+
12…i
因为arc cosx=y
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f (0) n n
arc cos x=f(0)+ x+ x +…+ x +o(x ) (11)
1! 2! 3!
-1 -2 -2 2 -3
(π/2-0) 0*(π/2-0) 2 (π/2-0)*(π/2-0) -2*0 *(π/2-0) 3
arc cos x=f(0)- x+ x + x
1! 2! 3!
-2 -2 -2
-0*(π/2-0) -220*(π/2-0) -233*(π/2-0) 4
-
x 4! -1 -2 -2 (π/2) (π/2) *(π/2) 3 -2*3*3*(π/2) 4
arc cos x=- x+ x + x
1! 3! 4!
9)作为最后一个练习题来建立公式
1
1 x
n n-1 x e
D (x e )= (-1) (n=1,2,3,…)
n-1
x
它在n=1及n=2时的正确性可以直接验证。现在假设，它对于n的一切数值，直到n≥2的某一数值为止都是对的，要证明它当n换成n+1时仍旧也对。要证明它当n换成n+1时仍旧也对。注：请读者注意数学归纳法在应用上的这一独特的形式；实际上（参阅下面的课文），我们将利用这公式在n及n-1时的正确性。为这目的，考察表达式
1 1
n n-1 x n n x
D (x e )=D [D(x e )]
1 1
. n n-1 x n-2 x
=D [nx e -x e ]
1 1
n n-1 x n-1 n-2 x
=n*D (x e ) -D[D (x e )]
应用我们的假设，可以改写这表达式为
1 1
1 x x
n n x n e n-1 e
D (x e )= n*(-1) -D[(-1) ]
n+1 n
x x
1
x
n+1 e
= (-1)
n+2
x
这就是我们所要证明的。因此，这公式对于一切自然数值n时都是对的
1.莱伯尼兹公式
我们在前一段开始时曾指出求导数的几个简单法则Ⅰ及Ⅱ可以直接移用到任意阶导数的情形。但处理关于乘积的导数的法则Ⅲ却较为费事。法则ⅠⅡⅢ可见求导数的几个简单法则
假定u,v是x的函数，且各自有值到n阶为止的各阶导数；我们将证明这时它们的乘积y=uv亦有n阶导数，并将求出它的表达式。应用法则Ⅲ逐次微分这乘积；我们就求出：
y=uv+uv,y``=u``v+2uv+uv``,y```=u```v+3u``v+3u`v``+uv```,…
很容易看出导出一切这些公式的规律：它们的右边使我们想起二项式的各次幂
2 3
u+v,(u+v) ,(u+v) …的展开式，
只把u,v的各次幂换成对应阶的导数罢了。
(0) (0)
若在所得的公式内把u,v写成u ,v ,其间的相似性就更为完全。
推广这一规律到任意的n的情形，即得普遍的公式。
(n) (n) n i (n-i) (i)
y =(uv) =∑c u v =
i=0 n
(n) (n-1) n(n-1) (n-2) n(n-1)...(n-i+1) (n-i) (i) (n)
=u v+nu v`+ u v`` +…+ u v +uv
1*2 1*2...i
注：记号∑表示同一类型的诸项的总和。当这些项都依赖着一个标数，而这个标数是在确定界限内变动着时，这些界限就就必须（在下面及在上面）指示出来。例如
n
∑ a =a +a …+a
i=0 i 0 1 n
n 1 1 1 1
∑ =1+ + +…+ 等等
k=0 k 2 3 m
要证明它的正确性，可再运用数学归纳法。假设对于某一n值上式是对的。若函数u,v的(n+1)阶导数也存在，则可以依x将上式再微分一次：我们就得：
(n+1) n i (n-i) (i)
y =∑c [u v ]`=
i=0 n
n i (n-i+1) (i) n i (n-i) (i+1)
=∑ c u v +∑ c u v
i=0 n i=0 n
今将合并在最后两个总和内含函数u,v的同阶导数的各个乘积（很容易看出，在每一个乘积内，导数的阶的总和始终是等于n+1).
(n-i+1) (0) 0
乘积u v 仅包含在第一个总和内（在i=0时);在这总和内，它的系数是C =1
n
(0) (n-i+1) n
完全与此相同，u v 仅包含在第二个总和内（有序号i=n的项），它的系数是C =1
n
(n+1-k) (k)
包含在这两个总和内的其他的一切乘积，它们的形式是u v , ,并且1≤k≤n。
每一个这种乘积，在第一个总和内能遇到（有序号i=k的项），在第二个总和内亦能遇到（有
k k-1
序号i=k-1的项）。对应的系数和是C +C
n n
k k-1 k
大家都已经知道，C +C =C
n n n+1
这样，最后求出
(n+1) 0 (n-0+1) (0) n k (n-k+1) (k) n-1 k (n-k) (k+1) n (n-n) (n+1)
y =C u v + ∑ C u v + ∑ C u v +C u v
n k=1 n k=0 n n
(n+1) 0 (n-0+1) (0) n k (n-k+1) (k) n k-1 (n-k+1) (k) n (n-n) (n+1)
y =C u v + ∑ C u v + ∑ C u v +C u v
n k=1 n k=0 n n
(n+1) (n+1) (0) n k [(n+1)-k] (k) (0) (n+1)
y = u v + ∑ C u v + u v
k=1 n+1
n+1 k [(n+1)-k] (k) (0) (n+1)
=∑ C u v + u v
k=1 n+1
因为
0 n+1
C =C =1
n+1 n+1
(n+1)
我们已经得到y 的表达式，它完全类似于表达式（1）（仅n换成n+1）, 这样就证明了公式（1）对于一切自然数值n的正确性。已建立的公式（1），称为莱伯尼兹公式。在推求n阶导数的普遍式时，它经常是有用处的。需指出对于许多因子的连乘积y=uv…t的n阶导数，也可以建立这样的公式；
n
它与多项式的幂（u+v+…+t） 的展开式相类似。
118）例题
2 (50)
1）用莱伯尼兹公式（1）求(x *cos αx) 的导数。令
2
v=x ,u=cos αx
那时
(k) k π
u =α *cos(αx+k )
2
Ⅳ Ⅴ
v`=2x, v``=2, v```=v =v …=0
这样，在公式（1）内除去首三项外，其余各项都等于零，于是我们就得到
(50) 2 50 π 50 49 π
(uv) =x *α cos(αx+50 )+ 2xα cos(αx+49 )+
2 1 2
50*49 48 π
*2*α *cos(αx+48* )
1*2 2
48 2 2
=α [(2450-α x )cos αx-100 αx*sin αx]
2)回到任意导数的普遍公式7），现在我们就能够由莱伯尼兹公式直接得出函数
ax
y=e *sin bx的n阶导数的普遍式:
(n) ax n n(n-1) n-2 2 n(n-1)(n-2) n-2 2
y =e [sin bx(a - a b +… )+ cos bx(na b- a b +…)]
12 12*3
3)求函数y=arc sin x 的(n+1)阶导数的表达式。
首先，我们有
1 1 1
y`= = *
2
1-x 1+x 1-x
于是依莱伯尼兹公式
(n+1) 1 1 (n)
y =( * )
1+x 1-x
1 (n) 1 1 (n-1) 1
=( ) +n( ) ( )
1+x 1-x 1+x 1-x
n(n-1) 1 (n-2) 1
-
( ) ( )``1*2 1+x 1-x
n(n-1)(n-2) 1 (n-3) 1 -
( ) ( )```+…1*2 1+x 1-x
今若应用在任意导数的普遍公式内的2)所得的公式去求1 1
及 的各阶导数，就得结果1+x 1-x(n+1) 1 (2n-1)!! (2n-3)!!1!!
y = { -n
n 2 n n-1
2 1+x (1+x) (1+x) (1-x)n(n-1) (2n-5)!!3!! -
* +…} n-2 2 1*2 (1+x) (1-x)
4)求函数y=arc tg x 在x=0时的各阶导数的数值。
因为
1 2
y= 故，y(1+x )=1
2
1+x
在这等式两端取n阶导数（应用莱伯尼兹公式）：
2 (n+1) (n) (n-1)
(1+x )y +2nxy +n(n-1)*y =0
在此处令x=0，若以添加下标0来表示在x=0时的导数值，则得
(n+1) (n-1)
y =-n(n-1)*y
0 0
在x=0时，导数
2x
y``= =0
2 2
(1+x )
即y`` =0
0
由已求出的关系式易见恒有
(2m)
y =0
0
至于奇阶导数，就有递推公式：
(2m+1) (2m-1)
y =-(2m-1)2my
0 0
注意y =1 0 2 2 y```=-(1+x )x 0 由数学归纳法可得, 由此就得 (2m+1) m y =(-1) (2m)! 0 这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8）中得到 4a)求函数y=arc ctg x 在x=0时的各阶导数的数值。 因为 1 2 y=- 故，-y`(1+x )=1
2
1+x
在这等式两端取n阶导数（应用莱伯尼兹公式）：
2 (n+1) (n) (n-1)
(1+x )y +2nxy +n(n-1)*y =0
在此处令x=0，若以添加下标0来表示在x=0时的导数值，则得
(n+1) (n-1)
y =-n(n-1)*y
0 0
在x=0时，导数
2x
y``= =0
2 2
(1-x )
即y`` =0
0
由已求出的关系式易见恒有
(2m)
y =0
0
至于奇阶导数，就有递推公式：
(2m+1) (2m-1)
y =-(2m-1)2my
0 0
注意y` =1
0
2 2
y```=-(1+x )x
0
由数学归纳法可得, 由此就得
(2m+1) m
y =(-1) (2m)!
0
这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8a）中得到
5)对函数y=arc sin x也一样。
提示：应用莱伯尼兹公式于关系式：
y=arc sin x
1
y`=
2
1-x
2
y` 1-x =1
2 2
y`(1-x ) = 1-x
2 2
[y(1-x )] = 1-x
2 -2x
(1-x )y-2x*y`= 2 1-x 2 (1-x )*y-xy`=0
2
(1-x )y``-2xy=-x*y
2 (n) (n-1)
(1-x )y -xy =0
答案：
(2m)
y =0,
0
(2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2
或y = (-1) * 1 *3 …(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!]
(2m-1) 2 2 2 2
y =1 *3 …(2m-1) = [(2m-1)!!]
要从3)的普遍式内得出这一结果，却没有这样简单。
5a)对函数y=arc cos x也一样。
提示：应用莱伯尼兹公式于关系式：
y=arc cos x
1
y`=-
2
1-x
2
y` 1-x =-1
2 2
y`(1-x ) =- 1-x
2 2
[y(1-x )] =- 1-x
2 -2x
(1-x )y-2x*y`=- 2 1-x 2 (1-x )*y-3xy`=0
2
(1-x )y``-2xy=x*y
2 (n) (n-1)
(1-x )y -3xy =0
答案：
(2m)
y =0,
0
(2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2
或y = (-1) * 1 *3 …(2m-1) =(-1) [(2m-3)!!]
(2m-1) 2 2 2 2
y =3 *5 …(2m-3) = [(2m-3)!!]
要从3)的普遍式内得出这一结果，却没有这样简单。
6)勒尚达多项式。
最后我们考察以勒尚达（A.M.Legendre）命名的重要多项式，它由下列等式
n 2 n
d (x -1)
X (x)=C (n=1,2,3,…)
n n n
dx
来定义, 其中常系数C 的值可看情形根据怎样能够方便的原则而给定。
n
首先要证明：(n次)多项式X (x)有n个不同的实根，这些根都在-1与+1之间。
n
为了方便起见，暂设
C =1
n
2 n n
不难看出，多项式(x -1) =(x-1) (x+1) 和它的n-1个相继各阶导数在x=±1时变为零。
于是根据洛尔定理，它的一阶导数也将有根在-1与+1之间； 这样一直到n-1阶导数，它除了有根-1与+1外，还有n-1个根介于其间。再对这导数应用一次洛尔定理，便得到所要证的结论。 仍令系数C =1，我们来确定多项式X (x)在x=±1时的数值。
n n
2 n n n
把幂(x -1) 看成(x+1) 乘(x-1) 的积，依莱布尼兹公式可以写成;
n n n n-1 n n n
n d (x-1) 1 d(x+1) d (x-1) d (x+1) n
X (x)=(x+1) * +C * * +…+ * (x-1)
n n n-1 n
dx dx dx dx
因为从第二项起的各项都含因式x-1，它们在x=1时都等于0，所以显然有：
n
X (1)=2 *n!
n
类似地可得：
n n
X (-1)=(-1) *2 n!
n
若在定义勒尚达多项式X (x)的一般公式中设
n
1
c =
n n
2 n!
则得到特别常见的多项式，今后我们将把这多项式记为 P (x)
n
n
其特征是在点x=1和x=-1处取值P (1)=1, P (-1)=(-1) ,
n n
用莱伯尼兹公式很易进一步证明勒尚达多项式X (x)满足下列关系式：
2
(x -1)X`` +2xX -n(n+1)X =0 n n n 它在这类的多项式的理论中担任着重要角色。实际上，令 2 n 2 n-1 y=(x -1) ，就有 y=2nx(x -1) ,
于是
2
(x -1)y`=2nxy
今在最后的等式的两端各取(n+1)阶导数；依莱伯尼兹公式，
2 (n+2) (n+1) n(n+1) (n) (n+1) (n)
(x -1)y +(n+1)2xy + 2y =2nxy +(n+1)2ny
2
由此
2 (n+2) (n+1) (n)
(x -1)y +2xy - n(n+1) y =0
再以c 乘之，就得到所要证明的关系式。
n
7)求函数y=arc sin x 在x=0时的各阶导数的数值。
因为
1 2
y= 故，y* (1-x ) =1
2
1-x
设 2
y`* (1-x ) =t
在这等式两端取n阶导数（应用莱伯尼兹公式）：
2 (n) (n)
[y`* (1-x ) ] =t
2 (n+1) 2 (n) 2 (n-1)
(1-x )y +n( (1-x )) * y +n(n-1)( 1-x )`` *y =0 因为 2 2 (1-x ) x
(1-x )`= =-
2 2
2 1-x 1-x
2 x
(1-x )``=(- )`
2
1-x
2 2
2 1-x -x 1-x
=-
2
1-x
2
=- 1-x
(n)
2 (n+1) x*n*y 2 (n-1)
1-x y - - n(n-1) 1-x y =0
2
1-x
在此处令x=0，若以添加下标0来表示在x=0时的导数值，则得
(n+1) 2 (n-1) (n-1)
y = n(n-1) 1-x y = n(n-1) y
0 0 0
在x=0时，导数
-3
1 2 2 2
y``=- (1-x ) (1-x )`
2
-3
2 2
=x*(1-x )
即y`` =0
0
由已求出的关系式易见恒有
(2m)
y =0
0
至于奇阶导数，就有递推公式：
(2m+1) (2m-1)
y =(2m-1)2my
0 0
注意y` =1
0
由此就得
(2m+1) m+1
y =(-1) (2m)!
0
这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8）中得到
7a)求函数y=arc cos x 在x=0时的各阶导数的数值。
因为
1 2
y=- 故，-y* (1-x ) =1
2
1-x
设 2
-y`* (1-x ) =t
在这等式两端取n阶导数（应用莱伯尼兹公式）：
2 (n) (n)
[-y`* (1-x ) ] =t
2 (n+1) 2 (n) 2 (n-1)
-(1-x )y -n( (1-x )) * y -n(n-1)( 1-x )`` *y =0 因为 2 2 (1-x ) x
(1-x )`= =-
2 2
2 1-x 1-x
2 x
(1-x )``=(- )`
2
1-x
2 2
2 1-x -x 1-x
=-
2
1-x
2
=- 1-x
(n)
2 (n+1) x*n*y 2 (n-1)
- 1-x y + + n(n-1) 1-x y =0
2
1-x
在此处令x=0，若以添加下标0来表示在x=0时的导数值，则得
(n+1) 2 (n-1) (n-1)
y = n(n-1) 1-x y = n(n-1) y
0 0 0
在x=0时，导数
-3
1 2 2 2
y``= (1-x ) (1-x )`
2
-3
2 2
=x*(1-x )
即y`` =0
0
由已求出的关系式易见恒有
(2m)
y =0
0
至于奇阶导数，就有递推公式：
(2m+1) (2m-1)
y =(2m-1)2my
0 0
注意y` =1
0
由此就得
(2m+1) m+1
y =(-1) (2m)!
0
这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8）中得到
第十部分 无穷小及无穷大的分级
1.无穷小的比较
假定在作某种研究时需同时考察一系列的无穷小量
α，β，γ
一般说来它们是同一变量x（比如说）的函数，而x是趋于有穷极限或无穷极限α的变量。在很多场合，按照它们接近于零的方式而将这些都称为无穷小的量加以比较是很有趣的。二无穷小α及β的比较以其比式的性态为基础。注：我们假定用作除数的变量不等于零，至少当x的数值充分接近于α时是如此。为此，引进下列两个定义：
β α
Ⅰ.若比式 （ 亦一样）有一异于零的有穷极限，则无穷小α于β称为是同级的。
α β
Ⅱ.若比式β/α趋于无穷小（相反地，比式α/β趋向于∞），则无穷小β称为是比α高级的无穷小，同时无穷小α就是比β低级的无穷小。
m
例如，若α=x→0,则sin x,tg x, 1+x -1
与这一无穷小相比较都是与它同级的无穷小，因为，我们已经知道[54,7);56,3)]
m
sin x 1+x -1 1
lim =1, lim =
x→0 x x→0 x m
反之，无穷小：
m 1
1+x -1 - , 1-cos x,tg x-sin x (1)
m
显然是比x更高级的无穷小。当然也可能有二无穷小的比式并不趋向于任何极限的情形，例如若取
1
α=β，β=x sin
x
则它们的比式等于sin(1/x), ,当x→0时并无极限；在这种情形则说，这二无穷小不能比较。注意，若无穷小β是比无穷小α更高级的，则这一事实就写成：
β=o(α)
例如，可以写
1-cos x=o(x),tg (x)-sin (x)=o(x), 等等
这样，o(α)就可以作为比α更高级的无穷小的普遍记号。我们以后就可以应用这种方便的记法。
-
极限理论的拓广
我们研究多项式k k-1
p(x)=α x +α x +…+α x+α
0 1 k-1 k
而后再研究两个多项式的商
k k-1
p(x) a x +a x +…+a x+a
0 1 k-1 k
=
l l-1
q(x) b x +b x +…+b x +b
0 1 l-1 l
在x→±∞的性态。经变形,
a a
k 1 k
p(x)=x (a + +…+ )
0 x x
k
很容易确定
lim p(x)=±∞ (∞－∞)
x→±∞
注：(∞－∞) 表示x和p(x)是(∞－∞)型的不等式
即lim x的极限是+∞ ，lim p(x)的极限是-∞ ，
x→+∞ x→-∞
表达的是x 趋于±∞，p(x) 趋于±∞时的极限. 并且极限的符号可以这样确定：
当k为偶数时它仅由a 的符号来决定，当k为奇数时除a 以外还要看x的符号。
0 0
2)类似于此，我们可求出
a ∞
p(x) 0
lim =±∞, ,0( )
x→±∞ q(x) b ∞
0
∞ ∞
注：( ) 表示p(x)和q(x)是（ ）型的不等式
∞ ∞
即lim p(x) 的极限是∞，lim q(x) 的极限是∞，
x→±∞ x→±∞
表达的是p(x) 趋于∞，q(x) 趋于∞时的极限, 按照k>l,k=l或k<l。
极限的符号（在第二种情形）依a 及b 的符号而确定，
0 0
但在k-l为奇数时还须以x的符号而确定。
3）今将证明对于任意的正有理指数r有公式
r
(1+x) -1 0
lim =r ( )
x→0 x 0
0 r 0
注:( ) 表示(1+x) -1和x是( ) 型的不等式
0 0
r
即lim (1+x) -1的极限是∞，lim x的极限是∞，
x→±∞ x→±∞
表达的是p(x) 趋于∞，q(x) 趋于∞时的极限, 按照k>l,k=l或k<l。
注：在下面[77.5)(6)]它将被普遍地推广到任意的实指数的场合。
从指数为自然数：r=n这种最简单的情形开始。依牛顿二项定理
n n(n-1) 2 n
（1+x) -1 nx+ x +…+x
1*2
=
x x
n(n-1) n-1
=n+ x +...+x
1*2
因为当x→0时最后一式的一切项，除第一项外，都趋于0，因此实际上就成为
n
(1+x) -1
lim =n
x→0 x
1
今令r= （式中m是自然数），并考察式子
m
m
1+x -1
x
m m
假定 1+x -1=y, 由此x=(1+y) -1
因为（当作│x│<1)
m
1-│x│< 1+x <1+│x│
所以 m
lim 1+x =1
x→0
于是，随同着x→0亦有y→0.则依前面的情形。
m
1+x -1 y
lim = lim =1/m
x→0 x m
(1+y) -1
最后，要证明一般的情形r=n/m, 仍引用辅助变数y:
n/m n n
（1+x) -1 (1+y) -1 (1+y) -1 y
= = *
m m
x (1+y) -1 y (1+y) -1
由此
n/m
（1+x) -1 n
lim =
x→0 x m
4)求极限
m x
1+x -1-
lim m
x→0 2
x
m
仍用同样的代换式 1+x -1=y , 则被考察的式子变为
1 m m-1 2
y- [(1+y) - y +…
m 2
m 2 = 2 2
[(1+y) -1] m y +…
-(m-1) +…
2
= 2
m +…
m-1
由此，立刻明白，所求的极限等于- 2
2m
5)极限
sin x
lim =1
x→0 x
经常被应用着去求其他极限
(a)
1-cos x 1 0
lim 2 = ( )
x→0 x 2 0
0 2 0
注:( ) 表示1-cos x和x 是( ) 型的不等式
0 0
2
即lim 1-cos x的极限是0，lim x 的极限是0，
x→±∞ x→±∞
显然
n/m 2 1 x
1-cos x 2sin 1 sin
2 2 2
= = ( )
2 2 x
x x 2 2
因为括号内的式子趋于1，所以总的极限就是1/2.
(б)
tg x-sin x 1 0
lim 2 = ( )
x→0 x 2 0
在这里用变形法很容易导向上面讨论过的极限.
tg x-sin x 1 sin x 1-cos x
2 = * * 2
x cosx x x
只需注意当x→0时，cos x→1，则由上面（a）的结果很自然能推得本式的结果了.
lim (sec x-tg x)=0 (∞-∞)
x→π/2
在这里换成变量α=π/2-x将更为便利；显然，当x→π/2时，α→0.我们就有
1-cos α 1-cos α α
sec x-tg x=csc α-ctg α= = 2 * *α→0
sin α α sin α
-
无穷小的尺度
有时为了要更精确的比较无穷小的性态，需要用数字来表达它们的级。在这种情形下，首先在所研究的无穷小内选出一个（就说是α）作为一种标准，把它称为基本无穷小。当然基本无穷小的选取在某种程度内是任意的，但通常总取最简单的。例如，假定被考察的量都是x的函数，而它们当x趋向于α时成为无穷小，那么根据α是零，是异于零的有穷数或是无穷大，自然地，就依次选取.x,x-α,1/x作为基本无穷小。
k
其次，再由基本无穷小α（我们认作α＞0）的各种正指数幂α 来组成一尺度，去评教性质上更为复杂的无穷小。
k
注：很容易看出，在k＞0时，α 将随着α同时成为无穷小。
k β
Ⅲ.若β与α (k>0) 是同级的无穷小量，即若比式 k
α
有异于零的无穷极限，则称无穷小β为关于基本无穷小α的k级无穷小量。例如，我们已知（1）式中诸无穷小（当x→0时)是比α=x更高级的无穷小，若对这说法仍觉不满意，就可以准确的说， (1)中前面两个是关于α=x的二级无穷小，而最后一个是三级无穷小, 因为m x 1+x -1- lim m =- m-1 x→0 2 2 x 2m
1-cos x 1
lim 2 =
x→0 x 2
tg x-sin x 1
lim 2 =
x→0 x 2
为着要看更复杂的例子，试考察表达式
β= x+1 + x-1 -2 x
在x→+∞时它将是无穷小，这是明显的，只需把它表示为下面的形状好了
x-1 - x-1
β=
( x+1 + x )( x-1 + x )
-2
=
( x+1 + x )( x-1 + x )( x-1 + x+1 )
令α=1/x, ，现在已经不难了解
β
lim =
x→+∞ 3/2
α
2
-2( x )
= lim
x→+∞ ( x+1 + x )( x-1 + x )( x-1 + x+1 )
-2 1
= lim * lim
x→+∞ ( 1+(1/x) + 1)( 1-(1/x) +1 ) x→+∞ ( 1+(1/x) ) +( 1-(1/x) )
=1/4
注：在此处我们应用
lim 1+z =1
z→0
这在56,3)极限理论的推广中的对任意m次幂的根式，已经证明了这样β的级就是3/2
k
当然不要以为任意无穷小β（即使是与一切幂α 都能比较的）都有确定的级数。
下列有趣例题可以从已建立的公式得出（α>1，k>0）
α
lim =+∞,
x→+∞ k
x
log x
lim α =+∞, (2)
x→+∞ k
x
由此首先
k
lim x =0,
x→+∞ α
k
lim x =∞,
x→+∞ log x
α
现在再把式中的x换成1/x, ， 并在第一式内假定α=1/c ,0<o<1, 则得
1/x
lim α =0,
x→+∞ k
x
1
log x
lim α =0,
x→+∞ k
x
1/x k
这样，c (0<c<1）就成为比一切幂x (k>0) 更高级的无穷小
而同时 1 成为比一切幂x 更低级的无穷小
log x
α
62.等价无穷小
今讨论同级无穷小的一种非常重要的特殊情况。无穷小α与β称为等价无穷小（记为α~β），
若它们的差γ=β-α是比α及β中的任何一个更高级的无穷小。γ=o(α),及γ=o(β),
然而，这只要γ是比这些无穷小之一更高级就已经够了，因为，例如，若γ是比α更高级，则它也比β更高级。
实因，由lim(γ/β) =lim(γ/(α+γ)) =lim[(γ/α)/(1+(γ/α))]=0
考察两个等价无穷小α及β，设β=α+γ，其中γ=o(α)。若近似的假定β≈α，符号≈表示近似等式。则它们的值都在减小时，不但由这替代所产生的绝对误差｜γ｜趋于0，而且相对误差｜γ/α｜也趋于0。换句话说，近似等式β≈α，在α及β的数值充分小时可以有任意大的准确度。据此，在近似计算内，繁复的无穷小可以换成与它等价的简单无穷小。
今建立一个有用的检定二无穷小的等价性的方法，在本质上，它就给出这个概念的第二定义，与前面所给的定义等价。要使两个无穷小α与β成为等价的，其充要条件是
lim(β/α) =1
先设这关系式成立，于是
δ=(β/α) -1→0
则γ=β-α=δ*α
就是比α更高级的无穷小，因为
lim(γ/α) =lim δ=0
反之，设α与β是等价的，即γ=β-α是比α高级的无穷小。由此就有
β γ β
-1= →0，故 = →1
α α α
这就是我们所要证明的。用这检定法，立即看出，在x→0时无穷小sin x及tg x是与x等价的，而
m 1
x+1 -1是与 x 等价的。
m
由此就得出近似公式
sin x≈x, tg x≈x
m 1
x+1 -1≈ x特例
m
1
x+1 -1≈
2
0
等价无穷小的已证明的性质可以应用于确定形如 的不等式，
0
即确定二无穷小的比式β/α的极限。这时，它们中的任一个可以换成任何与它等价的无穷小，而对于极限的存在及数值并无影响。实因，若α ~α，又 β ~β,即
α
lim =1 ，又
α
β
lim =1 ，
β
则比式
β β β α
= * * ，
α β α α
β
与比式 的区别仅是多了两个趋于1的因式，因此与它同时趋于同一的极限。
β
注：α表示α的等价无穷小，β表示β的等价无穷小，
若能把α及β选取的足够简单，即立刻可以使问题大为简化，例如，
1 2
2 (x+x )
1+x+x -1 2
lim =lim =1/4
x→0 sin 2x x→0 2x
由已证明的定理推得：都与第三者等价的二无穷小时等价的。
63.主部的分出
k
若选定α为基本无穷小，则形如c*α 的量自然认为就是最简单的无穷小。
此处，c是常系数，而k>0. 设β是关于α的k级无穷小，即
β
lim k =c ，
α
式中c是异于0的有穷数，则
β
lim k =c ，
cα
k k
而无穷小β与cα 就是等价无穷小：β~cα
k
与给定的无穷小β等价的这个最简单的无穷小cα 就称为β的主部或主项。
应用上面所建立的结果，除去已经指出的简单例题以外，很容易分出下列各式的主部。
1 2 1 2
1-cos x~ x , tg x-sin x~ x
2 2
此处x→0，而采用α=1/x作为基本无穷小，就有
1 1 3/2
x+1 + x-1 -2 x ~- ( )
4 x
一切这些结果再一次导向近似公式。
k k k
设β~cα ，即β=cα +γ,式中γ=o(α )
k 可以想象，从无穷小γ内再可以分出主部，γ=cα +δ
k 式中k >k，而δ=o(α ) ,余此类推
例如，若假定（设x→0):
1
x+1 -1= x+γ
m
则我们已求得[56.4)], 详细内容见极限理论的推广4）
γ m-1
lim 2 =- 2
x→0 x 2m
于是γ的主部是
m-1 2
-
2 x 2m
由此
1 2 2
x+1 -1= x -o(x ).
m
特别是：
1 1 2 2
x+1 -1= x - x +o(x ).
2 8
这种从无穷小内逐次分出级数始终在增高的最简单的无穷小的步骤，可以继续进行下去.
在本段内我们仅限于建立主部的普遍概念，并且只用少数几个例题说明它们。对刚才所讲如何做出已给无穷小的主部，以及如何从无穷小内继续分出高阶的最简单无穷小，以后我们还要指出系统的方法。参见[103,122]有限差分法介绍。
k k 末了，在讨论这样的问题：若已知二无穷小β及γ的主部是cα 及cα , 则关于其和β+γ的主部能说明些什么?
k k 在k≠k时，它的主部显然就是cα 及cα 两项中指数较小的那一项。 k
今设k≠k,则β+γ的主部就是（c+c)α , 还需要假定c+c`≠0, 但当两个主部互相对消的情形，则和β+γ将是比任一加数更高级的无穷小。例如，在x→0时，对于无穷小,
1
β= x+1 -1~ x及
2
1
γ= x+1 -1~ x
2
若再分出它们以后的主部：
1 1 2 2
β= x - x +o(x ).
2 8
1 1 2 2
γ= x - x +o(x ).
2 8
则很明显的有
1 2 2
β+γ= x+1 + 1-x =- x +o(x )
4
1 2
于是β+γ就是二级无穷小，而它们的主部等于- x
4
5. 应用题
现在举几个应用问题来说明以上讲过的这些。
1）设用长l米的尺测量某一地方的直线距离。因为实际上没有把尺准确地沿着测量的直线放置，以致测量的结果显得比真实的长度大了一些。试就最坏的情况而论，假设在测量时把尺放成锯齿形，就是说，它的两端交迭的忽而偏在直线的一侧忽而偏在直线的另一侧。其离开直线的距离为λ米（图25）。今试估其误差。
l/2
λ λ
l/2
图25
在尺每放下一次所发生的绝对误差等于尺的长度l与它在所测量的直线上的投影的差，其投影是：
2
1 2 2 4λ
2 ( ) -λ =l 1- 2
2 l
应用近似公式
1
x+1 ≈1+ x
2
于
2
4λ
x=- 2 的场合, （由于λ比l小的多，所以这样做是可以的。)
l
可以把投影的长度换成下式：
2 2
l ( 1- 2λ ) =l- 2λ
2 2
l l
因此，绝对误差是
2
2λ
l
，而相对误差显然是
2
2λ
2
l
这相对误差并不随所量距离的长度发生改变。若限制相对误差不能大于δ，
2
及应有 2λ <δ
2
l
则必须
δ
λ<l
2
例如，在用2米的尺（l=2）测量时，要达到0.001的相对准确度，
2 0.0005≈0.045米=4.5厘米就够了
2）今求一开接皮带的长度l的公式。
它套在一对滑轮上，它们的半径各为R及r，两中心之间的距离为d（图20）。
B α C
D b α c
α r
A a
d o
图26
1
由图知： = AC + Cc + ca
2
π π
但 AC =R( +α), ca =r( +α),
2 2
此处用α表示相等的角 BOC及 boc;而从三角形ODo内。
2 2
Cc=Do= d -(R-r)
这样
2 2
l=π(R+r)+2α(R-r)+2 d -(R-r).
要简化这公式，回忆
OD R-r
α≈sin α= =
Oo d
但需假定R-r对于d来说是很微小的。在同一假定下。
2 2 R-r 2 1 R-r 2
d -(R-r) =d 1-( ) ≈d[1- ( ) ]
d 2 d
把这些数值代入并整理化简就得出最后的公式。
2
(R-r)
l≈π(R+r)+2d+
d
3)在分割圆弧时，下面的应用题是有价值的：
求圆弧ABC内的矢f1 =D1B1的比值（图27）。
B f1
B1
D1 f
A D C
r
ψ
O
若令圆的半径等于r,角AOB=ψ, 则角AOB1=ψ/2, 又f=DB=r(1-cos ψ)
ψ
f1=r(1-cos )
2
这样，所求的比值等于
f 1-cos ψ
= ψ
f1 1-cos
2
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