这篇博客详细推导了三角函数如正弦、余弦、正切等的泰勒公式，包括它们在x=0附近的幂级数展开。通过对数函数ln x、反正切函数arc tg x、反余切函数arc ctg x、反正弦函数arc sin x、反余弦函数arc cos x的泰勒展开进行了分析，并展示了泰勒公式在近似计算中的应用。博客还探讨了使用泰勒公式进行函数展开的方法和误差分析。
三角函数公式推导2
5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数.
f(x)=ln(1+x)
并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)
k-1
(k) (-1) (k-1)!
f (x)=
k
(1+x)
(k) k-1
f(0)=0, f (0)=(-1) (k-1)!
注;记号0！我们永远理解为1
由此
2 3 n
x x n-1 x n
ln(1+x) =x- + -…+ (-1) +o(x )
2 3 n
6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, f(x) (0)=(-1) (2m-2)!
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc tg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1-1 (2*1-2)! 0 2 2-1 (2*2-2)! 3 n-1 (2*n-1)! n n
arc tg x= arc tg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, （当2m为偶数时）f(x) (0)=(-1) (2m-2)!, （当2m-1为奇数时）
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc ctg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1 (2*1-2)! 0 2 2 (2*2-2)! 3 m-1 (2*m-1)! n n
arc ctg x= arcctg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m x 2m
arcc tg x=-x+ - -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2
f (0)=0, f (0)=(-1) 1 3 …(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc sin x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2 2
1-1 (21-1)!! 0 2 2-1 (22-1)!! 3 (2n-1)!! n n
arc sin x= arc sin 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2
(2*1-1)!! 0 2 2!!* 2!! 3 (2*n-1)! n n
arc sin x= arc sin 0 - x+ x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 2!! 3!! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m
arc sin x=x- + -…+（-1） +o(x )
3!! 5!! (2m-1)!!
注note;5!!=135,6!!=246
6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m-1) (2m) m 2 2 2 m 2
f (0)=0, f (0)= (-1) 3 *5 …(2m-3) =(-1) [(2m-3)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc cos x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2
0 (2*1-1)!! 2 0 3 (2*n-1)!! n n
arc cos x= arc cos 0 + x+ x + x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2 2
0 (2*1-1)!! 2 0 3 3!!3!! 4 (2*n-1)! n n
arc cos x= arc cos 0 + x- x + x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 3!! 3!!4!! n!
于是它的展开式可表示为
2 3 5 2m
x 3!! x 5!!x m (2m-1)!! x
arc cos x=1- + - -…+（-1） +o(x )
2!! 4!! 6!! (2m)!!
注note;5!!=135,6!!=246
7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2sin x 1+2sin x Ⅳ 2+2sin x
f`(x)= , f(x)= , f(x)=2* , f (x)=8sin x
2 2 4 5
cos x cos x cos x cos x
Ⅳ
故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f (0)=0,
根据戴劳公式（120a）
3
x 4
tg x=x+ +o(x )或
3
3 5 7 2m-1
2x 4x 6x m-1 (2m) x n
tg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (-π/2<x<π/2)
3 5 7 2m-1
例如
tg π/4=1
3
0.785339
tg 0.785339=0.785339+ =1.0928
3
例如
tg π/4=1
3 5 7
20.785339 40.785339 60.785339
tg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928
3 5 7
利用已知的展开式，就已经可以不用求导数而直接写出较繁复的函数的展开式。例如，前一公式就可以从sin x及cos x的展开式而求得。举几个新的例子，在这时一切x的幂值到指定的幂包括在内为止，我们都要精确计算出来，而更高级的幂（没有写出来的）自然是包括在余项内。
7a)对于函数f(x)=ctg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2cos x 1+2cos x Ⅳ 2+2cos x
f`(x)=- , f(x)=- , f(x)=-2 , f (x)=-8cos x
2 2 4 5
sin x sin x sin x sin x
Ⅳ
故f(π/2)=1,f`(π/2)=-1,f``(π/2)=0,f```(π/2)=-2,f (π/2)=0,
根据戴劳公式(120a)
3
x 4
ctg x=x- +o(x )或
3
3 5 7 2m-1
2x 4x 6x m-1 (2m) x n
ctg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (0<x<π)
3 5 7 2m-1
例如
ctg π/4=1
3
0.785339 3
ctg 0.785339=0.785339- (0.78533-1.75) =0.93027
3
例如
ctg π/4=1
3 5 7
20.785339 40.785339 6*0.785339
ctg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928
3 5 7
sin x 3
8)写出函数e 的展开式至x 。根据1)
sinx 1 2 1 3 3
e =1+sin x+ sin x + sin x + o(sin x )
2 6
sinx 1 2 1 3 3
e =1+sin x+ sin x + sin x + o(x )
2 6
3 3
注:原来应写成o(sin x)，但由于x与sin x是等价无穷小，所以写成o(x )是完全一样的。
但依2)
1 3 4
sin x=x- x + o(x )
6
于是
sin x 1 3 1 2 1 3 3
e =1+(x- x )+ x + x + o(x )
6 2 6
3
含x 的项互相消去，故最后得
sin x 1 2 3
e =1+x+ x + o(x )
2
类似地
tg x 1 2 1 3 3
e =1+x+ x + x + o(x )
2 2
6
9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)
1 2 1 3 3
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 2
1 2 1 3 6
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )
2 2
2
注：因为1-cos x与x 同阶，见无穷小及无穷大的分级中的无穷小的尺度，
3 6
故o((cos x-1) )同时就是o(x )
在这时，由于3),
1 2 1 4 1 6 7
cos x-1=- x + x - x + o(x )
2 24 720
由此
1 2 1 4 1 6 1 1 4 1 6 1 1 6 6
ln cos x-1=(- x + x - x )- ( x - x )+ (- x )=o(x )
2 24 720 2 4 24 3 8
或在化简后
1 2 1 4 1 6 6
ln cos x-1=- x - x - x + o(x )
2 12 45
类似地
2 1 3 3 5 5
ln (x+ 1+x =x- x - x + o(x )
6 40
而
sin x 1 2 1 4 1 6 6
ln =- x - x - x + o(x )
x 6 180 2835
一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。
附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式（11）内对于n的选取不受拘束，就是可以继续展开这些函数直至x的任意次幂。
10)若f(x)=tan x，则
根据导数除法运算规则
π
sin(x+k* )
(k) π 2 (k)
f (x)=tan(x+k* )=( )
π
cos(x+k* )
2
π (k) π π (k) π
cos(x+k* ) sin (x+k* )- sin (x+k* ) cos (x+k* )
2 2 2 2
k
π 2
[cos(x+k* )]
,于是 2
(2m)
f (0)=tan mπ=0
(2m-1)
f (0)=tan mπ=
π (2m-1) π π (2m-1) π
cos(x+k* ) sin (x+k* )- sin (x+k* ) cos (x+k* )
2 2 2 2
2m-1
π 2
[cos(x+k* )]
2
因此，在公式（120）内令n=2m，就有
tan x=x+
π (2*1-1) π π (2*1-1) π
cos(x+k* ) sin (x+k* )- sin (x+k* ) cos (x+k* )
2 2 2 2
1
π 2
1! [cos(x+k* )]
2
π (2*2-1) π π (2*2-1) π
cos(x+k* ) sin (x+k* )- sin (x+k* ) cos (x+k* )
2 2 2 2
+0-
2
π 2
3! [cos(x+k* )]
2
π (2m-1) π π (2m-1) π
cos(x+k* ) sin (x+k* )- sin (x+k* ) cos (x+k* )
m-1 2 2 2 2
(-1)
2m-1
π 2
(2m-1)! [cos(x+k* )]
2
3 2 5
x x 2
3! -1 5!
tan x= x+(1 - )- ( + )
2 2 4 2 4 2
x x x
2! 4! 4!
2m+1
x 2
m-1 2m 1 2m-1 ( 2m+1)!
+…-(-1) [ (-1) - (-1) ( ) ]
2m 2m-2 2m 2m-1
x 2 x 2
2m! 2m!
11)若f(x)=cot x，则
根据导数除法运算规则
π
cos(x+k* )
(k) π 2 (k)
f (x)=cot(x+k* )=( )
2 π
sin(x+k* )
2
π (k) π π (k) π
sin(x+k* )cos (x+k* )- cos (x+k* ) sin (x+k* )
2 2 2 2
k
π 2
[sin(x+k* )]
2
(2m)
f (0)=cot mπ=0
(2m-1)
f (0)=cot mπ=
π (2m) π π (2m) π
sin(x+k* ) cos (x+k* )- cos(x+k* ) sin (x+k* )
2 2 2 2
2m
π 2
[sin(x+k* )]
2
因此，在公式（120）内令n=2m，就有
cot x=x+
π (2*1-1) π π (2*1-1) π
sin(x+k* ) cos (x+k* )- cos(x+k* ) sin (x+k* )
2 2 2 2
2m
π 2
[sin(x+k* )]
2
π (2*2-1) π π (2*2-1) π
sin(x+k* ) cos (x+k* )- cos(x+k* ) sin (x+k* )
2 2 2 2
+0-
2m
π 2
[sin(x+k* )]
2
π (2m-1) π π (2m-1) π
sin(x+k* ) cos (x+k* )- cos(x+k* ) sin (x+k* )
m-1 2 2 2 2
(-1)
π 2m
[sin (x+k* )]
2
2 2 4
x x 2
2! 1 4!
cot x= x+(-1+ )- ( + )
3 2 5 2 5 4
x x x
3! 5! 5!
2m+1
x 3 2
m-1 2m-1 1 2m-2 ( 2m)!
+…-(-1) [ (-1) - (-1) ( ) ]
2m+1 2m-2 2m+1 2m-1
x 2 x 2
(2m+1)! （2m）!
126.余项的其他形式
带有皮亚诺式余项的戴劳公式有各种各样的应用（参阅下一章近视公式）；但它们总是属于所谓《局部》性质的，即关于该点x 的性质的。
0
若另外也讲及其它数值x，则这些数值就必须假定是《十分接近》于x ，而不能预先任意
0
选取。与此同时，自然地企图利用多项式p(x)作为函数f(x)的近似式，用了它就可以计算f(x)的数值至所需的准确度。要多项式p(x)能胜任这一任务，就必须有可能对已给的x值去估计（117）式中的差。在这情形，皮亚诺形式的余项仅表明当x→0时r(x)也趋于0的性质，不能有什么用处。我们不能由此确定，对于怎样的x的数值多项式p(x)可以表达函数f(x)至预先指定的准确度；它也没有说到——对于已给的x——由于n的增大，余项r(x)=r (x)的数
n
值受到什么样的影响，等等。注：必须记住，一般地说来，余项r(x)依赖于n；为了着重指出这一点，我们以后将用到r (x)来表示它。因此我们转而推导余项r (x)的其他形式。
n n
为着明确起见，我们将考虑在点x 右方的区间[x ,x +H]（H>0)，并且设想函数f(x)是在
0 0 0
这区间内定义着的；至于函数被给定在区间[x -H,x ]内时的情形，就可以类似地加以说明
0 0
了。在这一次要做更多的假定，就是假设在全区间[x ,x +H]内前n个导数：
0 0
(n)
f(x),f``(x),f```(x),...f (x) (n+1) 都存在着而且都是连续的，此外，至少在开区间（x ,x +H)内(n+1)阶导数f (x)存在着而 0 0 且是有穷的。注意，由于（116）及（117）， (n) f(x ) f`(x ) f (x )
0 0 2 0 n
r (x)=f(x)-f(x )- (x-x )- (x-x ) -…- (x-x ) (12)
n 1! 0 2! n!
今将x固定于区间[x ,x +H]内的任一数值，并且依靠公式（12）右端的式样，吧常数x
0 0
换成变量z，做一个新的辅助函数；
f`(x ) f`(x ) f (x )
0 0 2 0 n
ψ(z)=f(x)-f(x )- (x-x )- (x-x ) -…- (x-x )
1! 0 2! n!
其中自变量z算作是在区间[x ,x]内变动的。在这区间内，函数ψ(z)是连续的，并且在它的
0
端点处取得数值[参阅（12）]
ψ(x )=r (x),ψ(x)=0.
0 n
此外，在区间(x ,x)内存在着导数
0
f``(z)
φ(z)=-f(z)-[ (x-z)-f`(z)]
1!
f```(z) 2 f``(z)
-[ (x-z) - (x-z)]
2! 1!
Ⅳ
f (z) 3 f```(z) 2
-[ (x-z) - (x-z) ]
2! 1!
(n+1) (n)
f (z) n f (z) n-1
…-[ (x-z) - (x-z) ]
n! (n-1)!
或，在化简以后
(n+1)
f (z) n
φ(z)=- (x-z) n! 今取任意函数ψ(z)，它在区间[x ,x]内是连续的，并且至少在开区间[x ,x]内有不等于零的 0 0 导数ψ(z)。
对函数φ(z)及ψ(z)应用柯西公式[114]：
φ(x)-ψ(x ) φ(c) 0 = ψ(x)-ψ(x ) ψ©
0
此处x <c<x或c=x +θ(x-x ） (0<θ<1)
0 0 0
因为
(n+1)
f © n
φ(x)=0, φ(x )=r (x), φ`©=- (x-c)
0 0 n!
故
(n+1)
ψ(x)-ψ(x ) f ©
0 n
r (x)= * (x-c)
n ψ`© n!
今若把函数ψ(z)换成满足所设条件的任意函数，我们就可以得出余项r (x)的各种不同
n
的形式
设
p
ψ(z)=(x-z) , 此处p>0, ，就有：
p-1
ψ`(z)=-p(x-z) (x <z<x)
0
显然，这函数满足所设条件。因此
p (n+1)
-(x-x ) f ©
0 n
r (x)= * (x-c)
n p-1
-p(x-c) n!
(n+1)
f (c) n+1-p p
= (x-c) (x-x )
n!p 0
因为c=x +θ(x-x )
0 0
所以x-c=x-x -θ(x-x )=（1-θ）（x-x )
0 0 0
因而最后
(n+1)
f (x +θ(x-x ))
0 0 n+1-p n+1
r (x)= *（1-θ） （x-x ) (0<θ<1)
n n!p 0
这表达式称为余项的施辽密赫-洛希（O.Schlоmich-Roche）式。
由上式，给p以具体的数值，就可以得出余项的更特殊的形式。令p=n+1, 就得到简单的拉格朗奇余项：
(n+1)
f © n+1-p
r (x)= (x-c) (x <c<x) 或(x >c>x)
n (n+1)! 0 0
它使人想起戴劳公式的紧接着n阶导数下面的一项， 只是其中的(n+1)阶导数不取在x 处
0
的数值,而是取在某一中值c(在x 与x之间)处的数值。
0
这样，具拉格朗奇余项式的戴劳公式就有如下形式：
(n)
f`(x ) f``(x ) f```(x ) f (x )+α
0 0 2 0 3 0 n
f(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) + (x-x ) +…+ (x-x )
0 1! 0 2! 0 3! 0 n! 0
(n+1)
f © n+1
-
(n+1)! 0 0 0(x-x ) (x <c<x) 或(x >c>x) (13)
若在式内把f(x )移至左端，就很容易看出，它是有限增量公式[112]
f(x)-f(x )=f`©*(x-x )
0 0
的直接推广。
虽然由于简单方便大家最乐意应用拉格朗奇余项式，但在个别情形，这形式对于估计余项是不适用的。因而不得不改用其他略繁的形式。 我们将在这里讲及其中之一，即柯西余项式，它是在施辽密赫-洛希的普遍式内令p=1而得到的：
(n+1)
f (x +θ(x-x ))
0 0 n n+1
r (x)= *（1-θ） （x-x )
n n! 0
第七部分 近似公式
127.近似公式
为着简单起见，在公式126中的（13）内令
x =0,
0
而c就改写成θx，此处0<θ<1：
(n) (n+1)
f(0 ) f(0) 2 f (0) n f (0) n+1
f(x)=f(0)+ x + x +…+ x + x （14）
1! 2! n! (n+1)!
若弃去这里的余项，则得近似公式：
(n) (n+1)
f(0 ) f(0) 2 f (0) n f (0) n+1
f(x)≈f(0)+ x + x +…+ x + x
1! 2! n! (n+1)!
它用多项式来代替原来性质繁复的函数。但在这一次我们已有可能估计这公式的误差，因为它（以绝对值）刚好等于所弃去的那一项。例如，若(n+1)阶导数（至少当变元在0与x之间变动时）的绝对值是以M为界限的，则
n+1
Mx
│r (x)│≤
n (n+1)!
转而讨论初等函数作为例子。我们不重复125的计算，只是把余项写成新的形式。
1)令
x
f(x )=e
0
近似公式为：
2 (n)
x x x x
e ≈1+ + +…+
1! 2! n!
因为在这里的余项是
θx
e n+1
r (x)= x
n (n+1)!
所以，例如在x>0时可估计误差如下：
n+1
x
│r (x)│<e *
n (n+1)!.
特别情形，若x=1，则
1 1 1
e ≈1+ + +…+
1! 2! n!
3
│r (1)│<
n (n+1)!.
我们在37内计算数e的近似值时已经应用过与此类似的公式。但余项的估计系由另一方法得出，那里的结果比较精确一些。
2)取f(x)=sin x,则得
3 5 2m-1
x x m-1 x
sin x ≈x- + -…+ (-1)
3! 5! (2m-1)!
在这情形余项为：
π
sin(θx+(2m+1) ) 2m-1
2 2m-1 m x
r (x)= x =(-1) cos θx*
2m (2m-1)! (2m-1)!
并且误差很容易估计为:
2m-1
│x│
│r (x)│≤
2m (2m-1)!
特别情形，若我们只取一项而令sin x≈x, 则为着要使误差小于0.001，就只要取（算作x>0）
3
x
<0.001
6
或x<0.1817, 这大约等于10°, 在应用二项的近似公式
3
x
sin x≈x-
6
时，要达到同一的准确度，就只要取
5
x
<0.001
120
或x<0.6544 (≈37°.5); 若限制角x<0.4129(≈23°.5), 则误差甚至可<0.0001，余类推。我们看到，戴劳多项式的项数愈多时，它就以愈大的准确度及在更长的距离内表达原来的函数。图52，a明显地表明这事实，在图中与函数y=sin x的图线并列的是各多项式的图线，这些多项式是：
3 3 5
x x x
y=x, y=x- , y=x- + ,等等,
6 6 120
1
0.5
1 2 3 4 5
图56，a
3)类似地，对于f(x)=cos x 就有
2 4 2m
x x m x
cos x ≈1- + -…+ (-1)
2! 4! (2m)!
并且
2m+2
m+1 x
r (x)= (-1) cosθx*
2m+1 (2m+2)!
因此
2m+2
│x│
│r (x)│≤
2m+1 (2m+2)!
例如，对于公式
2
x
cos x≈1-
2
误差
4
x
│r (x)│≤
3 24
就是说，在x<0.2213(≈13°)时误差<0.0001，与类推。在图52.b中有着函数y=cos x的图线及下面诸多项式
2 2 4
x x x
y=1, y=1- , y=1- + ,等等,
6 2 24
的图线以便比较。
1
0.5
1 2 3 4 5
图56，b
请读者注意，这与62，63，107诸段的公式比较起来已有很重大的进步；现在我们亦能确定误差的界限，并且能够得到具任何准确度的展开式，还将指出，戴劳公式是构成完全另一种类型的近似公式的来源。
4)作为例题，讨论与半径相较是很微小的圆弧被近似地引直时的惠更斯(Ch.Huy-gens)公式。设s是弧长，d是对应于它的弦，而δ是对应于半弧的弦（图53）。问题是要尽可能准确地用近似公式. s≈Ad+Bδ来表示弧长s，此处A,B是待定系数。
s
δ
y
d
a
x/2 x f
图53. (a)
若r是圆的半径，而2x是对应与弧s的圆心角，则有
1 3 θ 5 d=2r*sin x=2r(x- x + x ) 6 120 类似地，把x换成x/2，就又有 x 1 1 3 θ`` 5 δ=2r*sin =2r( x- x + x ) 2 2 48 3840 由此 1 1 1 3 θ θ`` 5
Ad+Bδ=2r[(A+ B)*x-( A+ B)*x +( A+ B)*x ]
2 6 48 120 3840
可是s=2rx，自然必须选取A及B使
1
A+ B=1
2
1 1
A+ B=0
6 48
5
因为这样一来，在所考察的公式中，左端与右端的差将仅只是含有x 的项了。
注:因为
1 1 1 3 θ` θ`` 5
Ad+Bδ=2r[(A+ B)*x-( A+ B)*x +( A+ B)*x ]
2 6 48 120 3840
1 1 1 3
≈2r[(A+ B)*x-( A+ B)x ]
2 6 48
3
=2r[(1)x-(0)x ]
=2rx
所以
1
A+ B=1
2
1 1
A+ B=0
6 48
由上二式解得A及B的数值为
1 8
A=- , B= ,
3 3
而公式成为
8δ-d 2δ-d
s= =2δ+
3 3
很容易看出，其误差△可估计为：
5
x
｜△｜<r
180
例如，在圆心角为30°，即
π
x= 时
12
根据这一估计，就有
｜△｜<r0.000007
实际上s=r0.523599…
所以误差并未超出规定的限度。下面介绍由上面推导出的关于x,d,δ，cos x的4个四元一次方程式, 这个方程式可以应用在模拟计算机上面进行计算。因为
8δ-d 2δ-d
s= =2δ+
3 3
d/2
sin x=
r
s=2rx
r=s/2x
所以
d/2
sin x=
s/2x
d 2x
= *
2 s
d*x
=
s
8δ-d 2δ-d
s= =2δ+
3 3
d*x
sin x=
2δ-d
2δ+
3
2
sin x=± (1-(cos x) )
2 d*x d*x
± (1-(cos x) )= =
2δ-d 8δ-d
2δ+
3 3
2 3d*x 2
1-(cos x) =( )
8δ-d
2 3d*x 2
(cos x) =1-( ) (202a)
8δ-d
由图53，a可知，δ，角y，d/2在一个直角三角形上
所以
π-x d/2
sin y=sin =
2 δ
d*δ
=
2
π-x π x
sin =sin( - )
2 2 2
x
= cos( )
2
(cos x+1)
=
2
(cos x+1) d* δ 2
=( )
2 2
2
(d* δ)
cos x = -1 (202b)
2
因为b，δ,d/2组成一个直角三角形，所以
d 2 2 2
( ) +f =δ
2
又因为a,b都在半径上，所以
a+f=r, f=r-a
d 2 2 2
( ) +(r-a) =δ
2
r=s/2x,
2δ-d
s= 2δ+
3
2δ-d
2δ+
3
r=
2x
δ 2δ-d
= +
x 6x
δ δ d
= + -
x 3x 6x
4δ d
= -
3x 6x
所以a=cos x*r
d 2 2 2
( ) +(r-a) =δ
2
d 2 2 2 2
( ) +r (1-cos x) =δ
2
d 2 4δ d 2 2 2
( ) +( - ) (1-cos x) =δ (202c)
2 3x 6x
因为半径r，a,d/2组成一个直角三角形，所以
d 2 2 2
( ) +a =r
2
又因为a,b都在半径上，所以
a+f=r, a=r-f
2δ-d
2δ+
3
r=
2x
δ 2δ-d
= +
x 6x
δ δ d
= + -
x 3x 6x
4δ d
= -
3x 6x
d 2 2 2
( ) +(r-f) =r
2
所以
π-x
f=cos *δ
2
x
=sin *δ
2
d 2 2 2
( ) +(r-f) =r
2
d 2 x 2 2
( ) +(r-sin *δ ) =r
2 2
d 2 4δ d x 2 4δ d 2
( ) +( - -sin *δ ) =( - )
2 3x 6x 2 3x 6x
d 2 4δ d 2-cos x 2 4δ d 2
( ) +( - - *δ ) =( - ) (202d)
2 3x 6x 2 3x 6x
最后得到关于x,cos x,d,δ的四元一次方程组
2 3d*x 2
(cos x) =1-( ) (202a)
8δ-d
2
(d* δ)
cos x = -1 (202b)
2
d 2 4δ d 2 2 2
( ) +( - ) (1-cos x) =δ (202c)
2 3x 6x
d 2 4δ d 2-cos x 2 4δ d 2
( ) +( - - *δ ) =( - ) (202d)
2 3x 6x 2 3x 6x
5）为着同一目的，契贝塞夫(П.Л.Чебышев)曾给出下面的法则：
4
弦长近似地等于作在弦上而高为矢的 倍的等腰三角形两腰之和。
3
h
δ s
y f
d
x r
图53. (b)
暂设h=γf;
底下就要说明：若设
4
γ=
3
则确能得（某种意义上的）最佳近似。以上我们知道
θ
1 1 3 1 5
d=rsin x=r(x- x + x ) (0<θ <1);
2 6 120 1
相仿地，
θ
1 2 4
h=γf=γr(1-cos x)=γr(1-cos x)= γr( x - x ) (0<θ <1);
2 24 2
用s记上述契贝塞夫法则中等腰三角形的两腰之和，既有
1 2 2
s*=2 ( x) +h
2
θ θ
1 2 1 4 2 x 2 3 2
=2rx (1- x + x ) +γ( - x )
6 120 2 24
2
γ 1 2 4 6 8
=2rx 1+( - ) x +ax +bx +cx
4 3
2
现在，为使根式中消去x 项，等于0，于是便得
4
γ=
3
为估计误差，把s*式改写成
4
s*=2rx 1+Ax (15)
而A的表达式中则含有x的二次项与四次项。设
π
x<
2
则有
2 4
x <2.5, x <6.5
而A的估计式为│A│<0.06,
因而
4
│A│x <0.4
4
为简便起见，把Ax 记为y，
依有限增量公式[112]有
4 y
1+Ax = 1+y =1+ (0<θ <1);
2 1+θy
最后的分式可估计如下：
4 4
y │y│ │A│x 0.06x 1 4
< = < < 0.1x
2 1+θy 2 1+│y│ 2 4 2 0.6 2
1+│A│ x
把表达s的（15）式与刚才所得结果比较一下，则见
s=s+p,
其中，
5
│ρ│<0.1rx
误差的阶跟惠更斯公式一样。在第二卷十一章将无穷级数的时候。我们还要再讨论带余项的戴劳公式，在哪里这公式将有很大的作用。
由上面的推导可得
4
h≈ f
3
因为h,d/2在同一个直角三角形，这个直角三角形斜边的2倍约等于弧长s
所以
4 2 1 2
s≈2 f + d
3 4
因为
d/2
sin x=
r
s=2rx
r=s/2x
所以
d/2
sin x=
s/2x
d 2x
= *
2 s.
d*x
s
4 2 1 2
s≈2 f + d
3 4
d*x
sin x=
4 2 1 2
2 f + d
3 4
2
sin x=± (1-(cos x) )
2
sin x=± (1-(cos x) )
d*x
=
4 2 1 2
2 f + d
3 4
2
sin x=± 1-(cos x)
2
± 1-(cos x)
d*x
=
4 2 1 2
2 f + d
3 4
2 2
2 d *x
(cos x) =1- (203a)
16 2 2
f + d
3
由图53，b可知，h，角y，d/2在一个直角三角形上
所以
π-x d/2
sin y=sin =
2 δ
d *δ
=
2
π-x π x
sin =sin( - )
2 2 2
x
=cos( )
2
(cos x+1)
=
2
(cos x+1) d*δ
=
2 2
(cos x+1) d*δ 2
= ( )
2 2
2
（d*δ）
cos x= -1
2
2
2 2 d
d *(f + )
4
cos x= -1 (203b)
2
因为b，δ,d/2组成一个直角三角形，所以
d 2 2 2
( ) +f =δ
2
d/2 d
δ= =
sin y 2sin y
d
=
(cos x+1)
2
2
所以
2
d 2 2 d
( ) +f = (203c)
2 2(cos x+1)
因为半径r，a,d/2组成一个直角三角形，所以
d 2 2 2
( ) +f =r
2
又因为a,b都在半径上，所以
a=cos x*r
4 2 1 2
s≈2 f + d
3 4
4 2 1 2
f + d
3 4
r=s/2x=
x
所以
d 2 2 2 2
( ) +(cos x) *r =r
2
4 2 1 2 4 2 1 2
f + d f + d
d 2 2 3 4 3 4
( ) +(cos x) * = (203d)
2 2 2
x x
最后得到关于x,cos x,d,δ的四元一次方程组
2 2
2 d *x
(cos x) =1- (203a)
16 2 2
f + d
3
2
2 2 d
d *(f + )
4
cos x= -1 (203b)
2
2
d 2 2 d
( ) +f = (203c)
2 2(cos x+1)
4 2 1 2 4 2 1 2
f + d f + d
d 2 2 3 4 3 4
( ) +(cos x) * = (203d)
2 2 2
x x
36.数e
我们在这里将应用极限步骤来定义一个新的数。这新的数迄今为止我们尚未遇到过。试考察整序变量
1 n
x =(1+ )
n n
并设法应用34的定理来确定它的极限。因为在指数n增大时幂的底数正在减小，所以整序变量的《单调》性不是直接看得出来的。为着证明x 的单调性，可根据二项定理展开上式：
n
1 n 1 n(n-1) 1 n(n-1)(n-2) 1
x =(1+ ) =1+n* + * + * +…+
n n 2 3
n 12 n 12*3 n
n(n-1)...(n-k+1) 1 n(n-1)...(n-n+1) 1
-
* +...+ * k n 1*2...*k n 1*2...*n n
.
1 1 1 1 2
=1+1+ (1- )+ (1- )(1- )+…+
2! n 3! n n
1 1 k-1 1 1 n-1
+ (1- )…(1- )+…+ (1- )…(1- ) (6)
k! n n n! n n
若改上式左边的x 为x ，即使n增大1，则在该式右边首先须在最后加上第(n+2)项（正
n n+1
的），又前面写着的n+1项中每一项也都增大了些，
s s
因为在任一括号内1- 型的因式都已换成较大的因式1-
n n+1
由此必有
x >x
n+1 n
即x 是增大的整序变量。今将证明，它又是囿于上的。即证明x 是增大的整序变量。
n n
因为
1
1- <1
n
1 1 1
(1- ) <
2! n 2!
1 1 2 1
(1- )(1- ) <
3! n n 3!
…
1 1 n-1 1
(1- )…(1- ) <
n! n n n!
所以
1 1 1
x <2+ + +…+
n 2! 3! n!
在（6）式中略去一切括号内的因式会使它增大了些，因此
1 1 1
x <2+ + +…+ =y
n 2! 3! n! n
更进一步的，（由第2个分数起）将分母中的每一因子都换成2，使所得的式子又增大了些，因此
1 1 1
y <2+ + +…+
n 2 n-1
2 2 2
但是由第二项1/2起各项的总和<1, 因此
y ❤️
n
从而
x ❤️
n
由此，依34的定理，整序变量x必有一有穷极限。依照欧拉(L.Euler)的记法，用字母e表示这极限。这数
1 n
e=lim(1+ )
n
不论对于分析学本身，或是它的应用，都有极端的重要性。它的首15位十进小数，就是
e=2.718281828459045…
在下一段内，我们将指出简便的方法计算数e的近似值，同时顺便证明数e是无理数。
数e的某些性质（我们在以后[54,(13)再证明）使得选它作为对数系统的底时有特殊的便利。
1
注： α
e= lim (1+α) （13）
α→0
以e为底的对数称为自然对数，用不标出底的记号ln来表示它；在理论的研究中，总是用着自然对数。注：这对数有时误称为纳披尔对数，取名于对数的发明者-苏格兰数学家纳披尔（J.Napier,ⅩⅥ-ⅩⅦ世纪）. 纳披尔本人并不曾有过对数系统的底的概念（因为他系独创一格，在另外的原理上建立它们），但他的对数相当于底数接近1/e的对数。与他同时代的蒲琪（J.Burgi）则创底数接近e的对数。以十为底的常用对数与自然对数的关系借公式
log x=ln x*M
来表示，式中M为换底的模且等于
1
M=log e= =0.434294…
ln 10
这个公式也很容易求得，只需在恒等式
ln x
x=e
的两边各取以10为底的对数便是。
37.数e的近似计算法
回到等式（6），若固定k，并设n>k，弃去最后一部分，即在第k+1项以后的一切项，则得不等式
1 1 1 1 2
x >2+ (1- )+ (1- )(1- )+…+
2! n 3! n n
1 1 k-1
(1- )… (1- )
k! n n
让n增大至无穷取极限，因所有括号的极限均为1，故得：
1 1 1
e≥2+ + +…+ =y
2! 3! n! k
这不等式对于任何自然数k都成立。因此，
x <y ≤ e
n n
由此，明显地[根据28，定理3]，又有
lim y =e
n
顺便注意到，y 是无穷级数[25 9)]
n
1 1 1
1+ + +…+ +…
1! 2! n!
的前n+1项的部分和，因而刚才所说的极限关系式表明e是它的和，也可以说e展开成为这个级数，因而可写
1 1 1
e=1+ + +…+ +…
1! 2! n!
在计算数e的近似值时，用整序变量y 比用x 更为便利。
n n
再估计y 向e接近的程度。
n
为此目的，先考察y 与在y 后面的任何数值y (m=1,2,3,…)之间的差。得
n n n+m
1 1 1
y -y = + +…+
n+m n (n+1)! (n+2)! (n+m)!
1 1 1 1
= {1+ + +…+ }
(n+1)! n+2 (n+2)(n+3) (n+2)(n+3)...(n+m)
若在括号{ }内把各分母中的因子都换成n+2，则得不等式
1 1 1 1
y -y < {1+ + +…+ }
n+m n 2 m-1
(n+1)! n+2 (n+2) (n+2)
因为
1 1
>
2
(n+1) (n+2)(n+3)
…
1 1
>
m-1
(n+1) (n+2)(n+3)
所以
1 1 1 1
{1+ + +…+ }>
2 m-1
(n+1)! n+2 (n+2) (n+2)
1 1 1 1
{1+ + +…+ }
(n+1)! n+2 (n+2) (n+3) (n+2)(n+3)...(n+m)
所以
1 1 1 1
y -y < {1+ + +…+ }
n+m n 2 m-1
(n+1)! n+2 (n+2) (n+2)
若把括号内换成无穷级数的和，则不等式只有加强，故
1 n+2
y -y < *
n+m n
(n+1)! n+1
今使n固定不变，并使m趋于无穷；则整序变量y (标着序号m的)依次取数列
n+m
y ,y ,y ,…y ,…
n+1 n+2 n+3 n+m
中的各值，显然将收敛于e。因此，在取极限时得
1 n+2
e-y < *
n (n+1)! n+1
因为
l im y =e
n+m→+∞ n+m
y = l im y
n+m n+m→+∞ n+m
y = e
n+m
所以
1 n+2
0<e-y < *
n (n+1)! n+1
或最后，得
注：因
n+2 1
< （这是很容易验算的）
2
(n+1) n
1 n+2 1 n+2
* = *
(n+1)! n+1 n!(n+1) n+1
1 n+2
= *
2
n! (n+1)
1 1
< *
n! n
所以
1 n+2
e-y < *
n (n+1)! n+1
1 1
< *
n! n
因为
l im y >y
n+m→+∞ n+m n+m
y >y
n+m n
l im y >y
n+m→+∞ n+m n
因为
l im y =e
n+m→+∞ n+m
所以
e>y
n
e-y >0
n
1
0<e-y <
n n!m
1
若用θ表示差e-y 与数 的比值（显然，它位于0与1之间），则又可以写成
n n!n
θ
e-y =
n n!n
将式中的y 用它的展开式代入，我们便得出重要的公式：
n
1 1 1 θ
e=1+ + +…+ + (7)
1! 2! n! n!n
它是计算e的出发点。弃去最后的一项《余项》，并把其余的各项都换上十进位小数的近似值，我们就得出e的近似值。
1
今将用公式(7)计算e，使准确至
7
10
首先需确定怎样选取n(它可由我们任意取定)，才能实现这一准确度。逐次计算阶乘的倒数(参阅附表)，我们看到，在n=10时，公式(7)的余项已是
θ θ
= < 0.00000003
n!n 10！10
所以弃去它时，我们造成的误差远远地小于所规定的限度。我们就停止在这n值上。把其余的各项都化成十进位小数，在第八位小数上四舍五入地凑成整数(达到后备的准确度)，则最
1
大误差在绝对值上小于第八位小数的半个单位，即小于
8
210
我们把计算的结果统计成一表。与近似值并列着的记号（+或-）表示着校正数的符号，要回复到准确的数值必须要把校正数加上去才行。因此，我们刚才所看到的，在弃去余项时校正数小于
1
8
10
再检查在四舍五入地凑成整数时的校正数（连同它们的记号）以后，很容易判定，对于数e的近似值的总校正数必在
1 5
- 8 及 + 8
10 10
之间。由此数e本身必位于小数2.71828175及2.71828186之间，故可置
e=2.7182818±0.0000001
顺便注意到，公式（7）亦可以用来证明数e是无理数。
我们把计算的结果统计成一表。与近似值并列着的记号（+或-）表示着校正数的符号，要回复到准确的数值必须要把校正数加上去才行。因此，我们刚才所看到的，在弃去余项时校正数小于
1
8
10
2.00000000
1
=0.50000000
2!
1
=0.16666667-
3!
1
=0.04166667-
4!
1
=0.00833333+
5!
1
=0.00138889-
6!
1
=0.00019841+
7!
1
=0.00002480+
8!
1
=0.00000276-
9!
1
=0.00000028-
10!
2.71828181
再检查在四舍五入地凑成整数时的校正数（连同它们的记号）以后，很容易判定，对于数e的近似值的总校正数必在
1 5
- 8 及 + 8
10 10
之间, 由此数e本身必位于小数2.71828175及2.71828186之间. 故可置
e=2.7182818±0.0000001
顺便注意到，公式（7）亦可以用来证明数e是无理数。由反面推论，试假定e等于有理数m/n；则若对于这个n写出公式（7），便有
m 1 1 1 θ
=1+ + +…+ + (0<θ<1)
n 1! 2! n! n!n
在这等式的两边都乘以n!，约去除末项以外的一切分母，我们将得出左边是整数，而右边是整数带着分数θ/n，但这是不可能的。这矛盾便证明了我们的命题。
第八部分计算三角函数的插值法
插值法的最简单问题，拉格朗奇公式
设有定义在区间[a,b]上的某函数f(x)，已算出它在区间内点x ,x ,…,x 处的m+1个值，
0 1 m
f(x ),f(x ),…,f(x ), (1)
0 1 m
而要从这些值来算出x为任意新值处的函数值f(x)。这就是插值法的最简单问题。这样来提问题，有许多地方是不正确的。平常，我们这样来理解这一问题：求一次数最小的多项式L(x)，使它在所给点x (i=0,1,…,m)(所谓插值法的基点)与f(x)取相同的数值f(x ),
I i
而在[a,b]的任何x，近似地设. 这就是插值法的最简单问题。这样来提问题，有许多地方是不确定的。 平常，我们这样来理解这一问题：求一次最小的多项式L(x), 使它在所给点x (i=0,1,…,m)(所谓插值法的基点)与f(x)取相同的数值f(x )，
i
而在[a,b]的任何x，近似地设
f(x)≈L(x) (2)
这一类的近似等式叫做插值公式。 因此，第一步是要找出近似公式，然后对函数f(x)的一定假设下估计近似公式(2)的误差。 为求满足条件
L(x )=f(x ) (i=0,1,…,m) (3)
I i
的多项式L(x),可引用m次多项式
(x-x )…(x-x )(x-x )…(x-x )
0 k-1 k+1 m
l (x)= (k=0,1,…,m)
(x -x )…(x -x )(x -x )…(x -x )
k 0 k k-1 k k+1 k m
相应于下标为k的每一这种多项式，在x=x 时取值1，而在x=x (i≠k)时取值0.
k i
这样，显然可知多项式
L(x)= ∑f(x )l (x) (4)
k k
上式表明多项式L(x)等于多项式l (m)和函数f(x )的乘积的各项和,
k k
满足(3)中的一切条件。这多项式的次数不高于m，因此它可为条件(3)所唯一确定；它叫做拉格朗奇插值多项式，而近似等式(2)叫做拉格朗奇插值公式。
注意，若引用如在插值基点x ,x ,…,x 处等于0的下面表达式
0 1 m
ω(x)=(x-x )(x-x )…(x-x )
0 1 m
则多项式l (x)可以写得更加紧凑些。即，我们显然有
k
ω(x)
(x-x )…(x-x )(x-x )…(x-x )= (x≠x )
0 k-1 k+1 m x-x k
k
而
(x -x )…(x -x )(x -x )…(x -x )=
k 0 k k-1 k k+1 k m
ω(x) ω(x)-ω(x )
k
lim = lim = ω`(x )
x→x x-x x→x x-x k
k k k k
于是
ω(x) m ω(x)
l (x)= , L(x)= ∑ *f(x )
k ω(x )(x-x ) k=0 ω(x )(x-x ) k
k k k k
上式表明函数f(x)在x点的插值约等于多项式L(x)在x点的值。多项式L(x)在k点的值l (x)
k
等于函数w(x)在x点的值除以函数w(x)在x点的导数和x-k的乘积. 多项式L(x)等于从k=0到k=m所有乘积的和，这个乘积为l(x）在x=k的值和函数f(x)在x=k的值的乘积. 由近似公式可知，
3 5 2m-1
x x m-1 x
sin x≈x- + + -…+(-1)
3! 5! (2m-1)!
m ω(x)
L(x)= ∑ * sin (x )
k=0 ω(x )(x-x ) k k k 由于L(x)由m个插值点f(x)相加而成, L(x )约等于在k点的插值f(x )l (x) m k k L(x )≈l (x) f (x ) (k-m=1) m m k L(x )≈l (x) sin (x ) m m k ω(x) L(x )= * sin (x ) m ω(x )(x-x ) k
k k
ω(x)
sin (x )≈ * sin (x )
m ω(x )(x-x ) k m m 例如 ω(x) sin ( 31°)≈ * sin (30°) ω(x )(x-x )
m m
ω(x) π
= * sin( )
ω`(x )(x-x ) 6
m m
因为
ω(x)=(x-x )(x-x )…(x-x )
0 1 m
上式中去m为正整数，x=m,x =0,x =1,x =2,…,x =m
0 1 2 m
ω(x)=m!
ω(x)= (x-x )[(x-x )...(x-x )]+ (x-x )`[(x-x )…(x-x )]
0 1 m 0 1 m
= m[(x-x )…(x-x )]`+m!
1 m
= m[(x-x )`((x-x )...(x-x ))+(x-x )((x-x )...(x-x ))`]+m!
1 2 3 1 2 m
= m![(m-1)! (x-x )...(x-x )`+(m-1)]+m!
2 m
= m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m!
例如
ω(x) π
sin ( 31°)≈ * sin( )
ω`(x )(x-x ) 6
m m
m! π
= * sin( )
m![(m-1)! ((m-2)! (…(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! 6
123…*30 π
= * sin( )
31!(30!(29!(28!(…1!+1)+28!)+29!)+30!)+31! 6
ω(x) π
cos ( 31°)≈ * cos ( )
ω`(x )(x-x ) 6
m m
m! π
= * cos ( )
m![(m-1)! ((m-2)! (…(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! 6
123…*30 π
= * sin( )
31!(30!(29!(28!(…1!+1)+28!)+29!)+30!)+31! 6
21 ω(x) 20
e ≈ * e
ω(x )(x-x ) m m m! 20 = *e m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! 1*2*3...*21 20 = *e 21!(20!(19!(18!(...1!+1)+18!)+19!)+20!)+21! 1.拉格朗奇公式的余项 现在来估计差式f(x)-L(x), 其中x是区间[a,b]上任何固定的值，但异于插值基点。设f(z)在这区间上具有到(m+1)阶的导数。不管K是什么样的常数，函数 φ(z)=f(z)-L(z)-K*ω(z) 也有m+1阶导数而且也在基点x (i=0,1,...,m)等于0. i 现在我们这样选择常数K，使z=x时还有φ(x)=0,即设 f(x)-L(x) K= (5) w(x) (因x≠x,故w(x)≠0). 依洛尔定理[111]，在函数φ(z)的•m+2个根x,x ,x ,...,x 之间的m+1个区间上， 0 1 m 可有其导数φ(z)的m+1个不同的根。 对函数φ`(z)及其m+1个根之间的m个区间上再应用洛尔定理， 便可知二阶导数φ``(z)有m个不同的根，等等。 这样推导下去，到
(m+1)
第m+1步，便推得第m+1阶导数φ (z)有根ζ，因而
(m+1)
φ (ζ)=0 (a<ζ<b), (6)
但
(m+1)
L (z)≡0,
因为多项式L(z)是不高于m次的，而
(m+1)
w (z)≡(m+1)!
依辅助函数φ(z)的定义，有
(m+1) (m+1)
φ (z)=f (z)-K*(m+1)!,
故自(6)可得
(m+1)
f (ζ)
K=
(m+1)!
最后，自(5)求得
(m+1)
f (ζ)
f(x)=L(x)+ w(x) (a<ζ<b) (7)
(m+1)!
这便是带余项的拉格朗奇插值公式。它与(2)不同，是准确等式。附注，若在区间[a,b]上
(m+1)
max│f (z)│=M <∞
m+1
则由于在这区间上
m+1
│w(z)│≤(b-a)
便得公式(2)的误差的下列估计式
M
m+1 m+1
│f (x)-L(x)│≤ (b-a)
(m+1)!
右边只对很窄的一类函数f(x)才能在m→∞时趋于0；例如，对于在[a,b]上可微分任意次的，且所有导数都以同一个常数M为上界的那种函数，便有这种情形。这时，随着插值基点个数的增多，而不管这些基点是依什么规律取的，公式(2)的误差将均匀趋近于零。这时，随着插值基点个数的增多，而不管这些基点是依什么规律取的，公式(2)的误差将均匀趋近于零。依马尔钦凯维奇(J.Marcinkiewicz)证明，对任取的连续函数，可适当选择一序列基点组，达到上述目的。但根据法贝尔(G,Faber)定理，并没有这样一种选取基点的规律，使其能在上述意义下同时适用于所有的连续函数。关于这一类问题以及有关问题的详情，我们这里不可能细讲了。
因为
(m+1)
f (ζ)
f(x)=L(x)+ w(x) (a<ζ<b) (7)
(m+1)!
上式表明，f(x)等于L(x)加上余项，余项等于f(ζ)的m+1次导数和w(x)的乘积再除以（m+1)！
m ω(x)
L(x)= ∑ *f(x )
k=0 ω(x )(x-x ) k k k 所以 (m+1) m ω(x) f (ζ) L(x)= ∑ *f(x )+ w(x) k=0 ω(x )(x-x ) k (m+1)!
k k
由于L(x)由m个插值点f(x)相加而成, L(x )约等于在k点的插值f(x )l (x)
m k k
L(x )≈l (x) f (x ) (k-m=1)
m m k
L(x )≈l (x) sin (x )
m m k
(m+1)
m ω(x) f (ζ)
L(x )= ∑ *sin (x )+ w(x)
m k=0 ω(x )(x-x ) k (m+1)! m m (m+1) ω(x) f (ζ) L(x )≈sin (x )≈ *sin (x )+ w(x) ω(x )(x-x ) k (m+1)!
m m
(m+1)
ω(x) sin (ζ)
= *sin (x )+ w(x)
ω(x )(x-x ) k (m+1)! m m 例如 (m+1) π sin ( ) ω(x) π 6 sin ( 31°)≈ * sin( )+ w(x) ω(x )(x-x ) 6 (m+1)!
m m
π
cos ( )
m! π 6
= * sin( )+ m!
[m![(m-1)! ((m-2)! (…(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m!]m! 6 (m+1)!
π
cos ( )
(m-1)! π 6
= * sin( )+ m!
[(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! 6 (m+1)!
π
cos( )
1*2*3...*29 π 6
= * sin( ) + 30!
30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30! 6 31!
(m+1) π
cos ( )
ω(x) π 6
cos ( 31°)≈ * cos( )+ w(x)
ω`(x )(x-x ) 6 (m+1)!
m m
π
sin( )
1*2*3...*29 π 6
= * sin( ) + 30!
30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30! 6 31!
20 (m+1)
21 ω(x) 20 (e )
e ≈ * e + w(x)
ω`(x )(x-x ) (m+1)!
m m
20 (m+1)
m! 20 (e )
= *e +
m![(m-1)! ((m-2)! (…(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! (m+1)!
20
1*2*3...*21 20 e
= *e + m!
21!(20!(19!(18!(...1!+1)+18!)+19!)+20!)+21! (m+1)!
130.有重基点的插值法，埃尔密特公式
我们可以提出更一般的插值法问题，即在基点x ,x ,…,x 处不仅给定函数f(x)本身的
0 1 m
值，而且还给定其各阶导数的值：
(n )
0
f(x ),f`(x ),…,f (x ),
0 0 0
(n )
1
f(x ),f`(x ),…,f (x ), (8)
1 1 1
……………………
(n )
m
f(x ),f`(x ),…,f (x ),
m m m
其中n ,n ,…n 是非负的整数。这些条件的总数是
0 1 m
(n +1)+(n +1)+…+(n +1)=N
0 1 m
利用(8)中所有条件，来计算函数f(x)在[a,b]中异于任何基点的x处的值，这一问题，也像以前一样，应这样来理解：求次数最低的多项式H(x)，它以及它的直到n 阶的导数，
i
在每一基点x 处，与函数f(x)本身及其相应各阶导数，取同样的一些数值，然后近似的设
i
f(x)≈H(x). (9)
基点x 分别叫做n +1重的插值基点。
I i
可以证明，不高于N-1次的，且满足一切所设条件的多项式H(x)是存在的而且是唯一的。这叫埃尔密特插值多项式，而公式(9)叫做埃尔密特(Ch.Hermite)插值公式.
若设所有的n 等于零，我们就又回到拉格朗奇公式(2)，
i
但埃尔密特公式还有旁的特殊情形：只取一个基点x ，然而是n+1重的；
i
就是说，要求不高于n次的多项式T(x)，使它以及它的n个导数在点x 的值，
0
各与函数f(x)及其各阶导数的值相同。我们知道，满足这些条件的是戴劳多项式[124(116)]。
n
f`(x ) f``(x ) f (x )
. 0 0 2 0 n
T(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) +… (x-x ) (116)
0 1! 0 2! 0 n! 0
上式表明多项式T(x)等于x 的函数值加上n个值，
0
第一个值为f(x)的一阶导数和x-x 的乘积再除以1！
0
第二个值为f(x)的二阶导数和(x-x )平方的乘积再除以2！
0
……………………
第n个值为f(x)的n阶导数和(x-x )n次方的乘积再除以n！
0
所以近似公式
f(x)≈T(x)
[比较近似公式127]也是埃尔密特插值公式的特例。使公式(9)成为准确等式的余项，也可用相似于上段中的步骤推导出来。试考察N次多项式
n +1 n +1 n +1
0 1 m
Ω(z)=(z-x ) (z-x ) …(z-x ) ,
0 0 0
并在a≤z≤b上设Φ(z)=f(z)-H(z)-K*Ω(z)，
而K=常数。若设函数f(x)在[a,b]上有相继的n阶导数，则Φ(z)也是这样的。固定异于基点的值z=x,而取常数K为：
f(z)-H(z)
K= [Ω(x)≠0!]; (10)
Ω(x)
这样选取K之后，函数Φ(z)在z=x也等于0. 如果每个几重根算几个，那么Φ(z)总共就有N+1个根。注：读者熟知的关于多项式的重根这一概念，现在推广到任意函数Φ(z)上来：若α使Φ(z)及其p-1个导数等于零，则说α是Φ(z)的p重根。像以前一样依次应用洛尔定理(只不过函数Φ(z)的每一个重根在做了几步之后就要固定下来而作为其相继各阶导数的根），
(N)
最后便可断定导数Φ (z)在某点ξ等于零。
由此得
(N)
f (ξ)
K=
N!
依(10)
(N)
f (ξ)
f(x)=H(x)+ Ω(x) (11)
N!
这就是带余项的埃尔密特公式。带余项的带余项的拉格朗奇公式[(7)]是上式的特殊情形。同样，若只取一个n+1重的基点x ，
0
便得到公式(11)的一个特例，即带拉格朗奇式余项的戴劳公式[126(13)]。 因为
f(x)≈H(x).
f(x)≈T(x)
多项式T(x)是多项式H(x)的特例
所以T(x)≈H(x)
因为
n
f`(x ) f``(x ) f (x )
. 0 0 2 0 n
T(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) +… (x-x ) (116)
0 1! 0 2! 0 n! 0
(N)
f (ξ)
f(x)=H(x)+ Ω(x) (11)
N!
所以
(N)
f (ξ)
f(x)=T(x)+ Ω(x)
N!
n (N)
f`(x ) f``(x ) f (x ) f (ξ)
. 0 0 2 0 n
f(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) +… (x-x ) + Ω(x)
0 1! 0 2! 0 n! 0 N!
因为
n +1 n +1 n +1
0 1 m
Ω(z)=(z-x ) (z-x ) …(z-x ) ,
0 0 0
所以
n +1 n +1 n +1
0 1 m
Ω(z)=(x-x ) (x-x ) …(x-x ) ,
0 0 0
n
f`(x ) f``(x ) f (x )
. 0 0 2 0 n
f(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) +… (x-x )
0 1! 0 2! 0 n! 0
(N)
f (ξ) n +1 n +1 n +1
0 1 m
+ (x-x ) (x-x ) … (x-x )
N! 0 1 m
例如
(n)
tg`(60°) tg``(60°) tg (60°)
tg ( 61°)≈tg(60°)+ (61°-60°)+ (61°-60°) +… (61°-60°)
1! 2! n!
(N)
tg (60°) n +1 n +1 n +1
0 1 m
+ (x-x ) (x-x ) … (x-x )
m! 0 1 m
(n)
tg`(π/3) tg``(π/3) tg (π/3)
=tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +… (180π/61-π/3)
1! 2! n!
(3)
tg (π/3) π/3 +1 π/3 +1+1 π/3 +1+1+1
+ (180π/61-π/3) (180π/61-π/3) (180π/61-π/3)
3!
tg`(π/3) tg``(π/3)
≈tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
(1)
tg (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
tg`(π/3) tg``(π/3)
≈tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
2
sec (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
(n)
sin`(60°) sin``(60°) sin (60°)
sin ( 61°)≈sin(60°)+ (61°-60°)+ (61°-60°) +… (61°-60°)
1! 2! n!
(N)
sin (60°) n +1 n +1 n +1
0 1 m
+ (x-x ) (x-x ) … (x-x )
m! 0 1 m
(n)
sin`(π/3) sin``(π/3) sin (π/3)
=sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +… (180π/61-π/3)
1! 2! n!
(3)
sin (π/3) π/3 +1 π/3 +1+1 π/3 +1+1+1
+ (180π/61-π/3) (180π/61-π/3) (180π/61-π/3)
3!
sin`(π/3) sin``(π/3)
≈sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
(1)
sin (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
sin`(π/3) sin``(π/3)
≈sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
cos (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
第九部分拉格朗奇公式
112.拉格朗奇公式
转而讨论洛尔定理的直接的推论。拉格朗奇定理，设1）f(x)是在闭区间[a,b]内定义着的而且是连续的，2)至少在开区间(a,b)内有有穷导数f(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点c(a<c<b)，满足等式 f(b)-f(a) =f©
b-a
证明，引入辅助函数，它在区间[a,b]内用等式
f(b)-f(a)
F(x)=f(x)-f(a)- (x-a)
b-a
定义着。这函数满足洛尔定理的一切条件，事实上，它在[a,b]内是连续的，因为它是连续函数f(x)与一线性函数的差。在区间（a,b)内它有确定的有穷导数，等于
f(b)-f(a)
F(x)=f(x)-f(a)-
b-a
最后用a和b直接代入，证实F(a)=F(b)=0，即F(x)在区间的两端点处具有相等的数值。因此，可以把洛尔定理应用于函数F(x)，并肯定在(a,b)内有点c存在，使F`©=0，这样，
f(b)-f(a)
f`©- =0
b-a
由此
f(b)-f(a)
f`©=
b-a
y
M B
A C
o a c x
图（1)
这就是所要证明的, 已证明的定理也称为（微分学中的）中值定理。洛尔定理是拉格郎奇定理的特别情形，前面所做洛尔定理的条件(1)和（2）的附注在此处仍为有效。转而讨论拉格郎奇定理的几何说明（图1），需指出，比式
f(b)-f(a) CB
=
b-a AC
是割线AB的斜率，而f`©是曲线y=f(x)上横标x=c的点的切线的斜率, 这样，拉格郎奇定理定理的论断就相当于：在弧AB上恒能求出至少一点M，在这点处切线平行于弦AB. 已证明的公式
f(b)-f(a)
= f(c) 或f(b)-f(a)=f©(b-a)
b-a
称为拉格郎奇公式或有限增量公式。它显然在a>b时有效,
取区间[a,b]内的任意数值x ,并给以增量△x>0或△x<0，以不至使它超出区间的范围为限
0
当△x>0时，应用拉格郎奇公式于区间[x ,x +△x]，
0 0
当△x<0时应用这公式于区间[x +△x,x ]。
0 0
这时介于x 与x +△x之间的数c可以表示为
0 0
c=x +θ*△x, 此处0<θ<1
0
上面的等式说明c是属于x0和x+△x之间的数，它的值等于x加上△x乘以参数θ的值的和参数θ的值可以根据函数的不同而发生改变. 注：有人说，θ是《真分数》，但不要以为它一定就是有理分数，数θ亦可以是无理数, 从而拉格郎奇公式公式就可以写成：
f(x +△x)-f(x )
= f(x +θ△x) 拉格郎奇公式或有限增量公式. △x 0 或△f(x )=f(x +△x)-f(x )=f(x +θ△x)*△x (0<θ<1)
0 0 0 0
这个等式给出了在变元的任意有限增量△x时的函数增量的准确表达式。它自然是与近似等式
△f(x )=f(x +△x)-f(x )≈f`(x )*△x 近似等式
0 0 0 0
近视公式见微分是近似式的来源, 相对立着的，在近似等式里，只有当△x无限小时相对误差方才趋于零. 由此产生《有限增量公式》这个名称. 拉格郎奇公式的缺点是在公式内有我们所不知道的数θ（或c), 但这并不妨碍这个公式在分析学内各种各样的应用. 注：对于θ
2
仅在少数情形中我们可以确定它，例如，对于二次函数f(x)=ax +bx+c,很容易验证θ=1/2
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
