用正割对数计算积分的方法
下面介绍一种利用正割对数，计算积分的方法。
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三角函数微积分
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第一部分用正割对数计算积分的方法
一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率
tga=y=f(x)=u(x)=y/x，
函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率，
tga=u(x)，tga=sina/cosa，
导数等于微分，微分积分后变成原函数，即
f`(x)= tga=f(x)
因为，a=arctgf(x)， 根据泰勒展开 3 5 2n+1 x x n x 2n+2 arc tg x=x- + -...+(-1) +o(x ) 3 5 2n+1 所以, 3 5 2n+1 f (x) f (x) n f (x) 2n+2
a=f(x)- + -...+(-1) +o(x ) 3 5 2n+1 方法1, 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译 推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著 因为, tga=y=f(x)=u(x)=y/x, a=arctgy,所以,
sina d(cosa)
f`(x)= tgada= da=- =-lncosa+C
cosa cosa
根据泰勒展开
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
cosa=1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
所以,
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
f(x)=-lncosa+C=-ln[1- + - -…+(-1) +o(a )]+C
2! 4! 6! (2m)!
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
6
9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)
1 2 1 3 3
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 2
1 2 1 3 6
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )
2 2
所以,
1 2 1 3 3
f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 3
1 2 1 3 6
f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )
2 3
2 4 6
a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + - +o(a )
2 12 45
方法2,
推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译,
-
tanudu=logsec u +C -
cotudu=logsin u +C
lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, lgtgθ=lgsecθ-lgcscθ, lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ,
所以,
sina d(cosa)
f`(x)= tanada= da=- =-lncosa+C=lnseca+C cosa cosa
所以,
cosa d(sina)
f(x)= cotada= da=- =lnsina+C sina csina 因为, tga=y=f`(x)=u(x)=y/x,
所以,
f(x)= tgada=logsec a +C
根据泰勒展开
2 3 5 n
x x x n-1 x n
ln(1+x)=x- + - -…+(-1) +o(x )
2 3 4 n
所以,
1 2 1 3 3
ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o((sec x-1) )
2 2
1 2 1 3 6
ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o(x )
2 2
所以,
1 2 1 3 6
f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o((sec a-1) )
2 2
1 2 1 3 6
f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o(a )
2 2
因为,
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
cosa=1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ,
所以,
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
f(x)=lnseca+C-lncosa+C=-ln[1- + - -…+(-1) +o(a )+C
2! 4! 6! (2m)!
因为, 推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，,
清咸丰壬子年，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理
当45°≥θ>0°时,
2 4 6 8
θ θ 2 θ 2 16 θ 2 16 272
lnsecθ= + + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
10 2n S
θ 2 16 272 7936 θ n
-
+…+ 2 3*4 5*6 7*8 9*10 2 (n+1)(n+2)...*2n
上式中，
S *(2n-2)(2n-1) S (2n-2)(2n-1)
n-2 n-3
S 2n(2n+1) 2n(2n+1) 2n(2n+1)
n-1 12
S = - + …-2
n 12 34 56
例如：
2 S =2
1
245
-22=16 S =16
12 2
20
1667 33689
- +24=272 S =272
12 3*4 3
336 70
1667 33689 7089
- + -24=7936 S =7936
12 34 56 4
9792 2016 168
79361011 97921011 20161011 1681011
- + - +25=353792 S =7936
12 34 56 78 5
436480 89760 7392 330
当67.5°≥θ>45°时
lnsecθ=lnsec(2θ-90°)-lnsec(90°-θ)+ln2,
当78.75°>θ≥67.5°时
lnsecθ=lnsec[2(2θ-90°)-90°]-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+2ln2,
当84.375°>θ≥78.75°时
lnsecθ=lnsec[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+3ln2,
当85.375°>θ≥84.375°时
lnsecθ=lnsec[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+4ln2,
当86.375°>θ≥85.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+5ln2,
当87.375°>θ≥86.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+6ln2,
当88.375°>θ≥87.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec12(90°-θ)-lnsec10(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+7ln2,
所以,
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
a a 2 a 2 16 a 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
所以,
f(x)=lnseca+C-lncosa+C=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
-ln[1- + - -…+(-1) +o(a )]
2! 4! 6! (2m)!
因为, y=tga, 所以, a=arctgy,所以,
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 7*8
所以,
f(x)=lnseca+C=-lncosa+C=
2 4 6 2m
arctg y` arctg y` arctg y` arctg y` 2m+1
-ln[1- + - -…+(-1) +o(arctg y` )]+C
2! 4! 6! (2m)!
上式中
2 3 4 5
(1-N) (1-N) 2 (1-N) 2 3 (1-N) 2 3 4
lnN=[(1-N)+ + + +
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5
n
(1-N) 2 3 4 n-1
+…+ … ]
2 3 4 5 n
上式中，N<1
当N>1时，
m
lgN=m-[(1-N/10 )+
m 2 m 3 m 4 m 5
(1-N/10 ) (1-N/10 ) 2 (1-N/10 ) 2 3 (1-N/10 ) 2 3 4
-
+ +2 2 3 2 3 4 2 3 4 5
m n(1-N/10 ) 2 3 4 n-1
+…+ … ]
2 3 4 5 nm
上式中，N/10 <1
例如：
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
3 3 3
例2. x 1+x dx,设1+x=t ,有x=t -1
3 3 3 6 3
x 1+x dx= (t -1)t*3t dt=3 (t -t )dt=
7 4 3 7 3 4
=3t /7-3t /4+C=3 (1+x) /7-3 (1+x) /4+C
解法2，根据上面的公式，
3
x 1+x dx
=ln sec a+C=
2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
3 2 3 4 3 6
arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) 2 arc(x 1+x ) 2 16
= + + +
2 2 34 2 34 5*6
3 2
arc(x 1+x ) 2 16 272
2 34 56 7*8
解法3，根据上面的公式，
3
x 1+x dx
=-ln cos a+C=
2 4 6 2m
arctg y` arctg y` arctg y` arctg y` 2m+1
-ln[1- + - -…+(-1) +o(arctg y` )]+C
2! 4! 6! (2m)!
3 2 3 4 3 6 3 2m
arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) arc(x 1+x )
-ln[1- + - -…+(-1)
2! 4! 6! (2m)!
3 2m+1
+o(arc(x 1+x )) ]+C
在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以，
y =1/x
x y
也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 上面等式左右两边同时积分，得
y dx= dy/x
x y
y =ln│x │+C
x y
也就是说原函数等于反函数绝对值的自然对数,
-1
设y =f(x),反函数为x =f (y)
x y
-1
f(x)=ln│f (y)│+C
因为,
f(x)=-lncosa+C=
2 4 6
a a a 6
= + + +o(a )
2 12 45
上式中tga=y=f(x)=y/x,
f(x)=-lncosa+C=
2 4 6
a a a 6 -1
= + + +o(a ) =ln│f (y)│+C
2 12 45
2 4 6
a a a
[ + + ]
-1 2 12 45
f (y)=e
同理可证
2 4 6
b b b
[ + + ]
-1 2 12 45
f (x)=e
上式中
-1
tgb=f (y)=x/y 第二部分通过导数斜率计算积分的方法 推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版 一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率tga=y=f`(x)=u(x)=y/x，
函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率tga=u(x)，tga=sina/cosa，
根据泰勒展开
3 5 7 2m
a a a m-1 a 2m
sina=a- + - -…+(-1) +o(a ) (a→0)
3! 5! 7! (2m)!
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
cosa=1- + - -…+(-1) +o(a ) (a→0)
2! 4! 6! (2m)!
3 5 7 2m+1
a a a m a 2m+2
arc tg a=a- + - -…+(-1) +o(a ) (a→0)
3 5 7 (2m+1)!
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
3
a 4
tg a=a+ +o(a )
3
3
a 4
u(x)=a+ +o(a )
3
或者，
推导过程可参见三角函数计算页
u(x)=tgα=2√2kα/π，
上式中，k=1.3，或，
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
或者，
推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，
推导过程参见三角函数的求法缀术页，
2 2
4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
tgα=sinα/cosα= 当60°<α≤90°时，
2 2
1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
2 2
α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
tgα=sinα/cosα= 当30°<α≤60°时，
2 2
1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
2 2
α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
tgα=sinα/cosα= 当0°<α≤30°时，
2 2
1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
或者，
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册，
推导过程参见惠更斯公式页，
2 2
8+6α ±2 4-2(-3α +16)
tgα=sinα/cosα=
2
2± 4-2(-3α +16)
或者，
推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，
收录于《白芙堂算学丛书》，推导过程参见数学拾遗页，
4 3 2
tgα≈7.5*(0.3α +0.2α +0.2α +0.2α+1)/2*1.01537228απ
或者
3 5 7
α α α
tgα=α+ + +
3 60 630
或者
tga=sina/cosa=
3 5 7 2m
a a a m-1 a 2m
a- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)!
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
3 5 7 2m
a a a m-1 a 2m
a- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)!
u(x)=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
设u(x)=t,得
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
或者,
3 5 7 2m
a a a m-1 a 2m
a- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
解上面的方程，得到t关于a的函数a=φ[t],
a=φ[u(x)], a=φ[t],
3
a +3a-3t=0
根据一元三次立方根的卡尔丹公式,
3
方程x +px+q=0的解有三个分别是
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
x = + + + - - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 q q p
x =ε + + +ε - - +
2 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p q q p
x =ε + + +ε - - +
3 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
根据上面的卡但公式，得
3
方程a +3a-3t=0的解有三个分别是, 其中p=3,q=-3t,
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
a =φ[t]= + + + - +
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 2
3t 9t 27 2 3t 9t 27
a =φ[t]=ε + + +ε - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 2
2 3t 9t 27 3t 9t 27
a =φ[t]=ε + + +ε - +
2 2 4 27 2 4 27
因为函数y=f(x)的导数是斜率tga，即
tga=y/x,
因为, a=φ(t), u(x)=t,
所以, a=φ[u(x)],
tga=tg{φ[u(x)]}=y/x,
y=xtga=xtg{φ[u(x)]}=xtg[φ(t)]
y=xtga=
3 3
2 3 2 3
3t q p 3t q p
x*tg{ + + + - +
2 4 27 2 4 27
或,
y=x*tga=
3 3
2 2
3t 9t 27 2 3t 9t 27
xtg{ε + + +ε - + }
2 4 27 2 4 27
或,
y=xtga=
3 3
2 2
2 3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ε + + +ε - - + }
2 4 27 2 4 27
上式中，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y，也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)，这样就得到由原函数f(x)构成的导数u(x)，也就是通过上面的办法通过原函数f(x)计算得到导数u(x)，
导数计算公式：
因为，
tga=tgφ[u(x)]=y/x，
arctg(y/x)=φ[u(x)]=a，
因为u(x)=t,
3
a 4
u(x)=t=a+ +o(a )
3
或，u(x)=tgα=2√2kα/π，
上式中，k=1.3，
或，
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
或
推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，
详细推导过程可参见《古今算学丛书，切线求弧》和缀术页，
推导过程参见三角函数的求法缀术页，
2 2
4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
tgα=sinα/cosα= 当60°<α≤90°时，
2 2
1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
2 2
α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
tgα=sinα/cosα= 当30°<α≤60°时，
2 2
1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
2 2
α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
tgα=sinα/cosα= 当0°<α≤30°时，
2 2
1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
或，
3 5 7 2m-1
a a a m-1 a 2m
a- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)!
u(x)=t=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
因为, tga=y=f(x)=u(x)
3
arctg (y/x)
y`=u(x)=t=arctg(y/x)+
3
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
y=u(x)=t= 3 4 6 2m arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1 1- + - -...+(-1) +o(a ) 2! 4! 6! (2m-1)! 这样就得到由原函数y构成的导数y,也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y`,所以,
3
a 4
a+ +o(a )=
3
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
3
a 4
a+ +o(a )=t,
3
3
a
a+ -t=0,
3
3
a +3a-3t=0,
解这个一元三次方程式得,
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
a =φ[t]= + + + - +
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 2
3t 9t 27 2 3t 9t 27
a =φ[t]=ε + + +ε - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 2
2 3t 9t 27 3t 9t 27
a =φ[t]=ε + + +ε - +
2 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
上式中,
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
或者，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
3
arctg (y/x)
t= arctg(y/x) +
3
因为, tga=y=f(x), 所以,
tga=y=f(x)=
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
tg[ + + + - +
2 4 27 2 4 27
tga=y=f(x)=
3 3
2 2
3t 9t 27 2 3t 9t 27
tg[ε + + +ε - +
2 4 27 2 4 27
tga=y=f(x)=
3 3
2 2
2 3t 9t 27 3t 9t 27
tg[ε + + +ε - +
2 4 27 2 4 27
上式中,
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
或者，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
3
arctg (y/x)
t= arctg(y/x) +
3
这样就得到由原函数y构成的导数y，也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y，
例如：
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译，
例1.
√x
e
dx
√x
2
设x=t ,则有
√x t
e e t t √x
dx= 2tdt=2 e dt=2e +C=2e +C
√x t
解法2，用上面的公式求解
y=x*tga=
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ + + + - + }
2 4 27 2 4 27
上式中
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
3
arctg (y/x)
t= arctg(y/x) +
3
因为, y=tga, a=arctgy,
所以,
3 √x x√x
arctg y e e t=arctgy+ = +
3 √x 3x√x
y=x*tga=
3
√x x√x
e e 2
√x x√x 9( + )
3e e √x 3x√x 27
x*tg{ + + +
2√x 2x√x 4 27
3
√x x√x
e e 2
√x x√x 9( + )
3e e √x 3x√x 27
-
+ - + 2√x 2x√x 4 27
所以,
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
y`=u(x)=t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
3 √x 5 √x 7 √x 2m-1 √x
√x arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)
arctg (2e /x)- + - -…+(-1)
3! 5! 7! (2m-1)!
2 √x 4 √x 6 √x 2m √x
arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)
1- + - -…+(-1)
3! 5! 7! (2m)!
所以,
tga=y=f(x)=
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
tg[ + + + - + ]
2 4 27 2 4 27
上式中,
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -…+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -…+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
3 √x 5 √x 7 √x 2m-1 √x
√x arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)
arctg (2e /x)- + - -…+(-1)
3! 5! 7! (2m-1)!
2 √x 4 √x 6 √x 2m √x
arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)
1- + - -…+(-1)
3! 5! 7! (2m)!
或者
3
arctg (y/x)
t=arctg(y/x)+
3
3 √x
√x arctg (2e /x)
t=arctg(2e /x)+
3
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版，
41.三次与四次方程，
说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,
只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式,
2
f(u)=u -x0u-p/3,
它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得,
α+β=x0 (4)
αβ=-p/3 (5)
以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出：
3
(α+β) +p(α+β)+q=0,
或,
3 3
α +β +(3αβ+p)(α+β)+q=0,
但由(5)得3αβ+p，故有,
3 3
α +β =-q (6)
另一方面，由(5)推得,
3 3 3
α β =-p /27 (7)
3 3
等式(6)与(7)证明了，数α 和β 是系数为复数的二次方程,
3
2 p
z +qz- =0 (8)
27
的根,
解方程(8)，我们得到：
2 3
q q p
z =- ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
α= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
β= - ± + (9)
2 4 27
注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,
3 3
故对方程的根(S)的根，以何者为α 何者为β 是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.
即,
3
2 3
q q p
β= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
α= - ± + (9)
2 4 27
或,
3
2 3
q q p
α= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
β= - ± + (9)
2 4 27
两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：
3 3
2 3 2 3
q q p q q p
x0=α+β= + + + - + +
2 4 27 2 4 27
因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。
注意：ε是1的立方根，即
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
下面内容为插叙
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
7.复数的方根,
在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以，
y =1/x
x y
也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 也可以认为，反函数的导数等于1除以原函数的导数,
x =1/y
y x
因为,
3
arctg (y/x)
y`=u(x)=t=arctg(y/x)+
3
所以,
1
x =1/y =
y x 3
arctg (y/x)
arctg(y/x)+
3
推导过程参见《微积概要》国立中山大学学院院长何衍睿，李铭槃，苗文绥，合编，1935年版，商务印书馆出版,
因为,
m m(m-1) 2 m(m-1)…(m-n+1) n 2n+2
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
12 12…n
2
所以,当x =-x ,m=-1/2时，有
1 1 2 1*3 4 1*3*….(2n-1) 2n 2n+2
=1+ x + x +…+ x +o(x )
2 2 24 24*…2n
1-x
两边积分得
3 5 2n+1
1 x 13 x 13*….(2n-1) x 2n+2
arc sin x=x+ + +…+ +o(x )
2 3 24 5 24*…2n 2n+1
在区间(-π/2,+π/2),
3 5 7 2n+1
x x x n x 2n+2
arc tg x=x- + - -…+(-1) +o(a )
3 5 7 2n+1
当x=1时，由上式可得,
π 1 1 1 n 1
=1 - + - -…+(-1) +…
4 3 5 7 2n+1
1 2 3 n
x x x x x n+1
e =1 + + + +…+ +o(x )
1 12 12*3 n!
loga x xloga
因为a=e , a =e
所以,
2 2 n n
x xloga x (loga) x (loga) n+1
a =1 + + +…+ +o(x )
1 2! n!
2 3 5 2n+1
1-x π x x n-1 x 2n+2
arctan = -x+ - +…+ (-1) +o(x )
1+x 4 3 5 2n+1
在区间(-π/2,+π/2)
1
1-x 1 1 1`
dx=1+ + +…+ 其中m为正整数│x│<1
0 1+x 2 3 m
2 4 6
sinx x x x
log =(- + - +…)
x 3! 5! 7!
2 4 6
1 x x x 2
-
(- + - +…)
2 3! 5! 7!
2 4 6
1 x x x 3
-
(- + - +…)
3 3! 5! 7!
2 4 6
n+1 1 x x x n
-…+(-1) (- + - +…)
n 3! 5! 7!
n+1 2n+2 (n+1) x+θx 2
1 2 n 2n (n) (-1) x f [ ]
x x (-1) x f (x) 1+n
( )dx=f(x)- f``(x)+…+ +
0 1+x 1+x n n+1
(1+x) (1+x) (n+1)!
求
1
log(1+x)
0 1+x
推导过程可参见1934年商务印书馆出版《大学丛书高等算学分析》，熊庆来著
推导过程可参见1937年版《大学丛书微积分学》，孙光元，孙权平著
3 5 2n+1
1 x 13 x 13*….(2n-1) x 2n+2
arc sin x=x+ + +…+ +o(x )
2 3 24 5 24*…2n 2n+1
3 5 7 2n+1
x x x n x 2n+2
arc tg x=x- + - -…+(-1) +o(a )
3 5 7 2n+1
1 2 2
=1-x+x +o(x ）
1+x
1 3 2 n+1 1*3*….(2n-1) n 2n+2
1+x =1+ x - x +…+(-1) x +o(x )
2 8 24…*2n
1 1 3 2 n 1*3*….(2n-1) n 2n+2
=1- x + x +…+(-1) x +o(x )
2 8 24…*2n
1+x
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
4)今考察幂函数x , 此处m非自然数也非零。在这情形，当x→0时，或则函数本身（若m<0），或则它的导数（从某一个n>m阶开始）无限地增大。因此，在此处已不能取x =0.
m 0
取x =1，即依(x-1)的幂而展开x .
0
如前所述，我们可以把x-1当做新的变量，但若我们仍旧用x来记这新的变量，则问题就成
m
为依x的幂而展开函数（1+x） 了。我们知道任意阶导数的普遍公式116,2）, 详细内容见任意阶导数的普遍公式.
(k) m-k
f (x)=m(m-1)…(m-k+1)(1+x)
(k)
因此f(0)=1,f (0)=m(m-1)…(m-k+1)
展开式的形式就是
m m(m-1) 2 m(m-1)…(m-n+1) n n
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
12 12…n
特别情形，例如在n=2及m=-1,1/2,-1/2时，就有
1 2 2
=1-x+x +o(x )
1+x
1 1 2 2
1+x=1+ x- x +o(x )
2 8
1 1 3 2 2
=1+ x- x +o(x )
1+x 2 8
3
x
在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即
1+x
至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出
5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数.
f(x)=ln(1+x)
并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)
k-1
(k) (-1) (k-1)!
f (x)=
k
(1+x)
(k) k-1
f(0)=0, f (0)=(-1) (k-1)!
注;记号0！我们永远理解为1
由此
2 3 n
x x n-1 x n
ln(1+x) =x- + -…+ (-1) +o(x )
2 3 n
6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, f(x) (0)=(-1) (2m-2)!
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc tg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1-1 (2*1-2)! 0 2 2-1 (2*2-2)! 3 n-1 (2*n-1)! n n
arc tg x= arc tg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, （当2m为偶数时）f(x) (0)=(-1) (2m-2)!, （当2m-1为奇数时）
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc ctg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1 (2*1-2)! 0 2 2 (2*2-2)! 3 m-1 (2*m-1)! n n
arc ctg x= arcctg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m x 2m
arcc tg x=-x+ - -…+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2
f (0)=0, f (0)=(-1) 1 3 …(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc sin x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2 2
1-1 (21-1)!! 0 2 2-1 (22-1)!! 3 (2n-1)!! n n
arc sin x= arc sin 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2
(2*1-1)!! 0 2 2!!* 2!! 3 (2*n-1)! n n
arc sin x= arc sin 0 - x+ x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 2!! 3!! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m
arc sin x=x- + -…+（-1） +o(x )
3!! 5!! (2m-1)!!
注note;5!!=135,6!!=246
6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m-1) (2m) m 2 2 2 m 2
f (0)=0, f (0)= (-1) 3 *5 …(2m-3) =(-1) [(2m-3)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc cos x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2
0 (2*1-1)!! 2 0 3 (2*n-1)!! n n
arc cos x= arc cos 0 + x+ x + x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2 2
0 (2*1-1)!! 2 0 3 3!!3!! 4 (2*n-1)! n n
arc cos x= arc cos 0 + x- x + x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 3!! 3!!4!! n!
于是它的展开式可表示为
2 3 5 2m
x 3!! x 5!!x m (2m-1)!! x
arc cos x=1- + - -…+（-1） +o(x )
2!! 4!! 6!! (2m)!!
注note;5!!=135,6!!=246
7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2sin x 1+2sin x Ⅳ 2+2sin x
f`(x)= , f(x)= , f(x)=2* , f (x)=8sin x
2 2 4 5
cos x cos x cos x cos x
Ⅳ
故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f (0)=0,
根据戴劳公式（12
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