三角函数公式推导

三角函数公式推导
第一部分三角函数模拟计算机电路介绍

第二部分使用六分仪测量经纬度的三角函数法
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第三部分，模拟三角函数计算机公式介绍
函数为常数的条件 推导出反三角函数的计算公式
用模拟计算机计算开方，看参考拉格郎奇公式中的近似公式的推导
计算三角函数的公式1
通过无穷小及无穷大的分级中的应用题3)，我们得到。在角度不太大时，

1-cos ψ=4(1- 1+cos ψ ) (90)
2

                                                        2  
              2                      1+      1-   (sin ψ)  

1- 1- (sin ψ) = 4 (1- ) (90)
2
由上面的式子组成模拟计算机的计算电路。

计算方程式的解，可见计算方程式的近似解页 比例法则，或称弦线法，依据波查诺-柯西第一定理

牛顿法则，或称切线法则

联合法
下面的公式可以用于模拟计算机的计算电路

计算三角函数的公式2
通过127. 近似公式中的例题4)，我们得到。设s是弧长，d是对应于它的弦，而δ是对应于半弧的弦（图53）。最后得到关于x,cos x,d,δ的四元一次方程组
2 3dx 2
(cos x) =1-( 8δ-d ) (202a)
2
(dδ)
cos x = -1 (202b)
2
2
d 4δ d 2 2 2
( )+( - ) (1-cos) =δ (202c)
2 3x 6x

d 4δ d 1-cos x 2 4δ d 2
( )+( - - *6 ) =( - ) (202d)
2 3x 6x 2 3x 6x

计算三角函数的公式3, 最后得到关于x,cos x,d,δ的四元一次方程组

                         2    2

2 d *x
cos x =1- (203a)
16 2 2
f +d
3

                  2  
      2   2     d  

d *(f + )
4
cos x= -1 (203b)
2

                                   2

d 2 d
( ) + f = (203c)
2 2(cos x+1)

                                          	(203d)

                                      2             2            2        2
              2                 4    f    +    1   d         4   f  +  1  d     

d 2 3 4 3 4
( ) + cos x * =
2 2 2
x x

计算三角函数的公式4,详细推导过程可参见戴劳公式125例题
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
+ -…+(-1) +o(x )
3! 5! (2m-1)!
tan x=sin x/cos x=
2 4 2m
x x m x 2m+1
1- + -…+(-1) +o(x )
2! 4! (2m)!

                                   m-1
                 2*2!   2*4!    2*6!        (-1)    (2m)!         (2m)!   
              =      -       +         -…+(             -        
                                         m

x 3!x 5!x (2m)!x (-1) (2m-1)!x

2 4 2m
x x m x 2m+1
cos x= 1- + -…+(-1) +o(x )
2! 4! (2m)!

                 3      5                      2m-1
                x     x               m-1     x         2m
        sin x=x-           +      -…+(-1)              +o(x     )

3! 5! (2m-1)!

详细推导见初等函数的展开

                 3      5                  2m-1
                x     x          m-1     x         2m
       sh x=x+      +      + …+(-1)              +o(x     )

3! 5! (2m-1)!

2 4 2m
x x m x 2m+1
ch x= 1+ + +…+(-1) +o(x )
2! 4! (2m)!

计算三角函数的拉格朗奇插值法，详细推导过程可见计算三角函数的插值法, 例如

           ω(x)                    π  

sin ( 31°)≈ sin ( )
ω`(x )(x-x ) 6
m m

                    m!                           π

= sin( )
[m![(m-1)!((m-2)!(…(1!+0))+(m-2))+(m-1)]+m!]m 6

                   (m-1)!                    π

= sin( )
[m![(m-1)!((m-2)!(…(1!+0))+(m-2))+(m-1)]m 6

                1*2*3…30                  π

= sin( )
31!(30!(29!(28!(…1!+1)+28!)+29!)+30!)+31! 6

           ω(x)                    π  

cos ( 31°)≈ cos ( )
ω`(x )(x-x ) 6
m m

                1*2*3…30                  π

= cos( )
31!(30!(29!(28!(…1!+1)+28!)+29!)+30!)+31! 6

21           ω(x)             20 

e ≈ e
ω`(x )(x-x )
m m

             1*2*3…21                  20

= e
21!(20!(19!(18!(…1!+1)+18!)+19!)+20!)+21!

计算三角函数的带余项的拉格朗奇插值法，详细推导过程可见计算三角函数的插值法, 例如.

                                          (m+1)  π  
                                        sin     (     )     
           ω(x)                π                 6    

sin ( 31°)≈ * sin( )+ w(x)
ω`(x )(x-x ) 6 (m+1)!
m m
π
cos ( )
m! π 6
= * sin( )+ m!
[m![(m-1)! ((m-2)! (…(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m!]m! 6 (m+1)!

                                                               π  
                                                          cos (     )     
                        (m-1)!                      π           6
     =                                        * sin(     )+            m!
       [(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m!         6       (m+1)!