时间归一化五次多项式解析解

1. 五次多项式定义

在标准化时间 $t\in [0,1]$ 上，五次多项式定义为：

$$p(t)=c_0+c_{1}t+c_2{t}^2+c_3{t}^3+c_4{t}^4+c_5{t}^5$$

其中 $t$ 是标准化时间：
$$t=\frac{\text{time}-t_{\text{start}}}{T}$$
$$T=t_{\text{end}}-t_{\text{start}}$$

2. 导数表达式

一阶导数（速度）：
$$p^{\prime }(t)=c_1+2c_{2}t+3c_3{t}^2+4c_4{t}^3+5c_5{t}^4$$

二阶导数（加速度）：
$$p^{\prime \prime }(t)=2c_2+6c_{3}t+12c_4{t}^2+20c_5{t}^3$$

3. 边界条件

我们有6个边界条件来确定6个系数：

起始点 ($t=0$)：

• 位置：$p(0)=p_0$
• 速度：$p^{\prime }(0)=v_0\cdot T$ （注意：这里需要转换为标准化时间的导数）
• 加速度：$p^{\prime \prime }(0)=a_0\cdot T^2$

终止点 ($t=1$)：

• 位置：$p(1)=p_1$
• 速度：$p^{\prime }(1)=v_1\cdot T$
• 加速度：$p^{\prime \prime }(1)=a_1\cdot T^2$

时间缩放说明

实际速度和加速度与标准化时间下的导数关系：

• 实际速度：$v_{\text{real}}=\frac{dp}{d\text{time}}=\frac{dp}{dt}\cdot \frac{dt}{d\text{time}}=p^{\prime }(t)\cdot \frac{1}{T}$
• 实际加速度：$a_{\text{real}}=\frac{d^{2}p}{d{\text{time}}^2}=p^{\prime \prime }(t)\cdot \frac{1}{T^2}$

因此：

• $p^{\prime }(t)=v_{\text{real}}\cdot T$
• $p^{\prime \prime }(t)=a_{\text{real}}\cdot T^2$

4. 系数求解

4.1 前三个系数（直接由起始条件确定）

$c_0$： 由 $p(0)=p_0$
$$c_0=p_0$$

$c_1$： 由 $p^{\prime }(0)=v_0\cdot T$
$$c_1=v_0\cdot T$$

$c_2$： 由 $p^{\prime \prime }(0)=a_0\cdot T^2$
$$2c_2=a_0\cdot T^2\Rightarrow c_2=\frac{1}{2}{a}_0{T}^2$$

4.2 后三个系数（由终止条件确定）

将终止条件代入多项式：

位置条件： $p(1)=p_1$
$$c_0+c_1+c_2+c_3+c_4+c_5=p_1$$

速度条件： $p^{\prime }(1)=v_1\cdot T$
$$c_1+2c_2+3c_3+4c_4+5c_5=v_1\cdot T$$

加速度条件： $p^{\prime \prime }(1)=a_1\cdot T^2$
$$2c_2+6c_3+12c_4+20c_5=a_1\cdot T^2$$

4.3 构建线性方程组

将已知的 $c_0$、$c_1$、$c_2$ 代入，得到关于 $c_3$、$c_4$、$c_5$ 的线性方程组：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 4& 5\\ 6& 12& 20\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_3\\ c_4\\ c_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{p}_1-c_0-c_1-c_2\\ v_{1}T-c_1-2c_2\\ a_1{T}^2-2c_2\end{array}\right]$$

定义右侧向量：
$$\begin{array}{rl}\text{term1}& =p_1-p_0-v_{0}T-\frac{1}{2}{a}_0{T}^2\\ \text{term2}& =v_{1}T-v_{0}T-a_0{T}^2\\ \text{term3}& =a_1{T}^2-a_0{T}^2\end{array}$$

4.4 求解线性方程组

对矩阵方程：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 4& 5\\ 6& 12& 20\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_3\\ c_4\\ c_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\text{term1}\\ \text{term2}\\ \text{term3}\end{array}\right]$$

通过高斯消元法或直接求逆矩阵，得到解析解：

$$\begin{array}{rl}{c}_3& =10\cdot \text{term1}-4\cdot \text{term2}+0.5\cdot \text{term3}\\ c_4& =-15\cdot \text{term1}+7\cdot \text{term2}-\text{term3}\\ c_5& =6\cdot \text{term1}-3\cdot \text{term2}+0.5\cdot \text{term3}\end{array}$$