归一化7次多项式速度规划

一、问题描述

  给定插补长度$L$，速度限制$v_{lim}$，加速度限制$a_{lim}$，加加速度限制$j_{lim}$，计算总运动时间$T$，规划归一化7次多项式$s(u)$ ($u=t/T$为归一化变量)，使其满足以下条件：
$$\{\begin{array}{l}s(0)=0\\ s^{\prime }(0)=0\\ s^{\prime \prime }(0)=0\\ s^{\prime \prime \prime }(0)=0\\ s(1)=1\\ s^{\prime }(1)=0\\ s^{\prime \prime }(1)=0\\ s^{\prime \prime \prime }(1)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
  并使得，7次多项式轨迹$l(t)$的最大速度 $v_{max}$，最大加速度 $a_{max}$，最大加加速度 $j_{max}$满足：
$$\{\begin{array}{l}{v}_{max}\le v_{lim}\\ a_{max}\le a_{lim}\\ j_{max}\le j_{lim}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

二、推导步骤

  设归一化7次多项式为：
$$s(u)=a_0+a_{1}u+a_2{u}^2+a_3{u}^3+a_4{u}^4+a_5{u}^5+a_6{u}^6+a_7{u}^7,u\in [0,1]\text{\hspace{1em}(3)}$$
  一阶导数为：
$$s^{\prime }(u)=a_1+2a_{2}u+3a_3{u}^2+4a_4{u}^3$$