[ZJOI2012]灾难

题目大意

给定一张食物网，对于每一种生物，求其灾难值。灾难值的定义为

如果它突然灭绝，那么会跟着一起灭绝的生物的种数。

Solution

很多$dalao$说是支配树。

呃？不知道支配树？？

没事，我也不知道，但是这题看完之后自然就知道了。

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如果给你的不是一个$DAG$，而是一棵树，那么怎么做？

这不简单？每个节点的答案就是子树大小$-1$，因为要减去自己。

那我们就把图变成一棵树。

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我们以样例为例。

首先草是一切生物的食物来源，所以其等级最高，就会被建在我们新建的树的根节点。
所以我们是怎么找到草的呢？不知道。但是如果反向建边呢？

很明显，就是入度为$0$的点。

然后考虑下一个节点，比如说考虑节点$2$，显然，在重构的树中，节点$2$应该是$1$的儿子。这是一个前驱的情况，那么比如说节点$4$这样有$2,3$两个前驱的呢？显然不可能是$2,3$的儿子，根据建树的目的，可以想到，$4$应该是$1$的儿子，因为只有$1$灭绝了，才有可能使$4$灭绝，而$1$是怎么找到的呢？在$4$之前，显然$2,3$已经作为$1$的儿子建在树上了，而$1$恰好就是$4$的所有前驱的$LCA$。

所以建树时，对于每个节点$u$，要得出$u$的所有前驱，然后求出这些前驱的在重构的树中的$LCA$，然后将$u$建为$LCA$的儿子。其合理性非常简单，在重构的树中，要求一个父节点灭绝之后，其所有的子节点都灭绝，为了使$u$灭绝，必须使所有$u$的前驱灭绝，为了使$u$的所有前驱灭绝，只有让这些点在重构树上的$LCA$灭绝，所以当$LCA$灭绝了，$u$才会灭绝，所以$u$要作为$LCA$的直接儿子。

最后一点就是，为了使在处理$u$时，所有的$u$的前驱都被处理过了，就要用到$topo$。

而最后建出来的这棵树，就被称为支配树，上述就是对于$DAG$的建支配树的方法。

你，学废了吗？

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为了写代码方便，避免出现多个初始入度为$0$的点，可以建立一个大起点(太阳？)，从而转化为一个起点的情况。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 1<<30
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
vector<int> e[MAXN],tr[MAXN],lk[MAXN];
//e存原图	tr存树图	lk存点的前驱
int in[MAXN],f[MAXN][20],dep[MAXN];
int LCA(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	int dlt=dep[x]-dep[y];
	for(int i=0;i<20;i++)
		if(dlt&(1<<i))
			x=f[x][i];
	if(x==y) return x;
	for(int i=19;i>=0;i--)
		if(f[x][i]!=f[y][i])
			x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}//倍增求LCA
int siz[MAXN];
void dfs(int x,int fa){
	siz[x]=1;
	for(int i=0;i<tr[x].size();i++){
		int s=tr[x][i];
		if(s==fa) continue;
		dfs(s,x);
		siz[x]+=siz[s];
	}
}
int main()
{
	int n,z;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(~scanf("%d",&z)&&z){
			e[z].push_back(i);//注意反向建边，别被题目误导
			in[i]++;
		}
	}
	int rot=0;
	dep[rot]=0;//大起点
	queue<int> q;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!in[i]){
			lk[i].push_back(rot);//将大起点放入i的前驱中
			q.push(i);
		}
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();q.pop();
		int lca=lk[x][0];
		for(int i=1;i<lk[x].size();i++)
			lca=LCA(lca,lk[x][i]);//求出树中的lca
		dep[x]=dep[lca]+1;
		f[x][0]=lca;
		for(int i=1;i<20;i++)
			f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];//倍增的预处理
		tr[lca].push_back(x);//将x建入lca的儿子
		for(int i=0;i<e[x].size();i++){
			int s=e[x][i];
			lk[s].push_back(x);//x是s的前驱之一
			if(--in[s]==0) q.push(s);
		}
	}
	dfs(rot,-1);//跑出每个点的子树大小
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d\n",siz[i]-1);//然后减一就是答案。
}