DFS（深度优先搜索）的指数型和排列型枚举

DFS的指数型枚举

指数型枚举通常涉及从一组元素中选择任意子集（包括空集），每个元素有“选”或“不选”两种状态。其核心是通过递归遍历所有可能的组合。

实现要点

1. 递归函数设计
   参数通常包括当前处理的位置（如数组下标）和临时存储结果的容器（如vector<int>）。

   void dfs(int u, vector<int>& path) {
       if (u > n) {  // 递归终止条件：处理完所有元素
           for (auto x : path) cout << x << " ";
           cout << endl;
           return;
       }
       path.push_back(u);  // 选择当前元素
       dfs(u + 1, path);   // 递归处理下一个元素
       path.pop_back();    // 回溯：不选当前元素
       dfs(u + 1, path);   // 递归处理下一个元素
   }
   

2. 时间复杂度
   每个元素有2种选择，总时间复杂度为 $O(2^n)$，空间复杂度为 $O(n)$（递归栈深度）。

应用场景

• 子集问题（如LeetCode 78. Subsets）。
• 组合问题（需限制路径长度时）。

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DFS的排列型枚举

排列型枚举需生成所有可能的排列（全排列），即元素的顺序不同视为不同解。通常通过交换元素或标记访问状态实现。

实现要点

1. 交换法实现
   通过交换当前位置与其他位置元素生成排列。

   void dfs(int u, vector<int>& nums) {
       if (u == nums.size()) {  // 终止条件：生成一个完整排列
           for (auto x : nums) cout << x << " ";
           cout << endl;
           return;
       }
       for (int i = u; i < nums.size(); i++) {
           swap(nums[u], nums[i]);  // 交换元素
           dfs(u + 1, nums);        // 递归处理下一个位置
           swap(nums[u], nums[i]);  // 回溯
       }
   }
   

2. 标记法实现
   使用visited数组记录已选元素，避免重复选择。

   void dfs(int u, vector<int>& path, vector<bool>& visited) {
       if (u > n) {
           for (auto x : path) cout << x << " ";
           cout << endl;
           return;
       }
       for (int i = 1; i <= n; i++) {
           if (!visited[i]) {
               visited[i] = true;
               path.push_back(i);
               dfs(u + 1, path, visited);  // 注意参数为u+1，表示处理下一个位置
               path.pop_back();            // 回溯
               visited[i] = false;
           }
       }
   }
   

3. 时间复杂度
   排列数为 $O(n!)$，空间复杂度为 $O(n)$（递归栈和辅助数组）。

应用场景

• 全排列问题（如LeetCode 46. Permutations）。
• 需要考虑顺序的组合问题。

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关键区别

• 指数型：关注元素是否被选中，解空间为子集，时间复杂度 $O(2^n)$。
• 排列型：关注元素顺序，解空间为排列，时间复杂度 $O(n!)$。

两种枚举方式均需注意剪枝优化（如提前终止不符合条件的路径）以提升效率。