洛谷1052 过河

NOIP2005

原题地址

https://www.luogu.org/problem/show?pid=1052

题目描述

在河上有一座独木桥,一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子,青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数,我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点:0,1,……,L(其中L是桥的长度)。坐标为0的点表示桥的起点,坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始,不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数(包括S,T)。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时,就算青蛙已经跳出了独木桥

题目给出独木桥的长度L,青蛙跳跃的距离范围S,T,桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河,最少需要踩到的石子数。

输入输出格式

输入格式:

输入文件river.in的第一行有一个正整数L(1 <= L <= 10^9),表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S,T,M,分别表示青蛙一次跳跃的最小距离,最大距离,及桥上石子的个数,其中1 <= S <= T <= 10,1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置(数据保证桥的起点和终点处没有石子)。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式:

输出文件river.out只包括一个整数,表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

输入输出样例

输入样例#1

10

2 3 5

2 3 5 6 7

输出样例#1

2

说明

对于30%的数据,L <= 10000;

对于全部的数据,L <= 109。

2005提高组第二题

 

解题思路

和前几天写的吃药问题差不多,l的范围太大,无法作为数组下标,所以先离散化,再DP。两点间的距离d大于t时,一定可以由d%t跳过来,所以最多只需要t+d%t种距离的状态就可以表示这两个石子之间的任意距离关系。这样就把题目中的10^9压缩成了2*t*m最多不超过2000,然后就可以放心大胆地用DP了。不过要注意题目中的“当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时,就算青蛙已经跳出了独木桥”,所以DP的终点是一个范围而非确切的一个点,最后还要在这个范围内取最小值。

参考代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
int f[20000],v[20000],a[211],b[211];
int main()
{
    lll;
    ints,t,m;
    cin>>l;
    cin>>s>>t>>m;
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    memset(v,0,sizeof(v));
    a[0]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        cin>>a[i];
    a[m+1]=l;
    sort(a,a+m+2);
    b[0]=0;
    intcnt=0;
    for(int i=1;i<=m+1;i++)
    {
       if(a[i]-a[i-1]>=t)
           cnt+=(a[i]-a[i-1])%t+t;   //这里一定要在取模后加t,否则会WA;
       elsecnt+=a[i]-a[i-1];
       v[cnt]=1;  //表示此处有石子;
    }
    v[cnt]=0,v[0]=0;
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=cnt+t-1;i++)
    {
       for(int j=s;j<=t;j++)
           if(i-j>=0) f[i]=min(f[i],f[i-j]+v[i]);
    }
    intans=2100000000;
    for(int i=cnt;i<=cnt+t-1;i++)   //终点可能的范围;
        ans=min(f[i],ans);
    cout<<ans;
    return0;
}

<think>好的,我需要解决用户关于过河卒”问题的疑问。首先,用户希望了解解题思路或算法实现。根据提供的引用内容,问题涉及动态规划,特别是递推关系。 首先,问题描述是过河卒从A(0,0)到B点,只能向右或向下走,同时避开马的控制点。马的位置和其跳跃可达的点是障碍。需要计算路径数量。 接下来,我需要整理引用中的信息。引用[3]提到棋盘和马的控制点,引用[4]指出状态转移方程是dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1],但要注意马的控制点。引用[1]和[2]提到递归方法效率低,动态规划是正解。 我需要考虑边界条件,比如起点被马控制时直接返回0。然后初始化dp数组,处理马的控制点,标记这些位置不可达。对于动态规划遍历,每个点如果没有被控制,就累加上面和左边的路径数。 另外,要注意数组越界的问题,比如当i或j为0时,只能从一个方向来。可能需要将坐标整体偏移,避免负数索引。例如,将起点设为(0,0),但实际处理时可能需要从1开始,这样i-1和j-1不会越界。 最后,代码实现部分需要处理输入,标记马的位置及其控制点,初始化dp数组,然后逐行计算。测试案例验证正确性,比如题目中的示例输入。 用户可能需要进一步的优化方法,比如空间压缩,或者处理大数时的溢出问题。但根据引用内容,当前方法已经足够解决题目。需要确保代码正确处理所有边界情况,比如马在边界时的控制点判断。</think>### P1002 过河卒 解题思路与算法实现 #### 问题描述 棋盘上,卒从 $A(0,0)$ 走到 $B(n,m)$,只能向右或向下移动。棋盘上有一个敌方马,其位置为 $(x,y)$,马的控制点包括自身位置和一步可达的8个点。求所有合法路径的数量(需避开马的控制点)[^3]。 --- #### 算法思路 1. **动态规划(DP)** 使用二维数组 $dp[i][j]$ 表示从起点到点 $(i,j)$ 的路径总数,状态转移方程为: $$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]$$ 需排除马的控制点[^4]。 2. **边界条件** - 若起点 $A(0,0)$ 或终点 $B(n,m)$ 被马控制,直接输出0。 - 初始化第一行和第一列时,若路径被马控制点阻断,后续点均不可达。 3. **标记马的控制点** 通过预计算标记所有马的控制点,遍历时跳过这些点。 --- #### 代码实现(Python) ```python def count_paths(n, m, horse_x, horse_y): # 标记马的控制点 blocked = set() directions = [(-1, -2), (-2, -1), (-1, 2), (-2, 1), (1, -2), (2, -1), (1, 2), (2, 1), (0, 0)] for dx, dy in directions: x = horse_x + dx y = horse_y + dy if 0 <= x <= n and 0 <= y <= m: blocked.add((x, y)) # 初始化DP数组 dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)] dp[0][0] = 0 if (0, 0) in blocked else 1 # 动态规划遍历 for i in range(n + 1): for j in range(m + 1): if (i, j) in blocked: continue if i == 0 and j == 0: continue top = dp[i-1][j] if i > 0 else 0 left = dp[i][j-1] if j > 0 else 0 dp[i][j] = top + left return dp[n][m] # 示例输入:B(6,6),马在(3,3) print(count_paths(6, 6, 3, 3)) # 输出应为6 ``` --- #### 关键点说明 1. **坐标偏移处理** 实际代码中可将棋盘坐标整体偏移,避免负数索引(如将起点设为 $(1,1)$)。 2. **空间优化** 可将二维DP数组压缩为一维数组,仅保留当前行状态,降低空间复杂度至 $O(m)$。 3. **大数问题** 路径数可能极大,需根据题目要求使用高精度计算或取模操作。 ---
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