洛谷 P1052 过河（状压dp）

• 题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1052

• 题意：在一条长为 $L$ 的独木桥上有很多石子 ，坐标为 $m_i$ 有一只青蛙要从坐标零点跳到$L$ 处或者跳过$L$ ，每次青蛙可以跳过$S \sim T$ 之间的任何正整数距离(包括$S,T$)，问青蛙最少要踩到过的石子数。(以上数字皆为正整数)

• 思路：咋一看就是一个很简单的一维$DP$，状态转移方程：

  $$dp[i]=min(dp[i−j]+flag[i]∣S<=j<=T)$$ 说明： $$dp[i]表示到i点踩的最少石子数，而要跳到i点，只有dp(i-S) \sim dp(i-T),从中取最小值再加上i点有没有石子（flag[i]）就行$$

• 但$L$的数值达到了 $10^9$，而石子的数目最多就只有$100$，中间很很多空白的地方造成了计算资源的浪费，于是按照状压的基本思想对长度进行压缩。

• 公式已有大佬证过（这里），得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离$d> t*(t-1)t∗(t−1)$，则将他们的距离更改为 $t*(t-1)t∗(t−1)$。
  因为 $t<=10$ ，因此我们可以直接将大于$10^9$的距离直接化为$90$.
  而对于 $s=t$ 需要特殊判断。

• 代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

int L, S, T, M;
int m[105];
int dp[30000];
int f[105];
int flag[30000];
int main(){
    scanf("%d %d %d %d", &L, &S, &T, &M);
    int ans = 0;
    if(S == T){//特判
        int x;
        for(int i = 1; i <= M; i++){
            scanf("%d", &x);
            if(x % S == 0)
                ans++;
        }
        printf("%d\n", ans);
        return 0;
    }
    for(int i = 1; i <= M; i++)
        scanf("%d",&m[i]);
    sort(m + 1, m + 1 + M);//先排序
    f[0] = 0;
    m[0] = 0;
    f[M + 1] = min(L - m[M], 100);//最后一个点到终点的距离，虽然我认为不要100也行，但大点也没啥关系
    L = 0;
    for(int i = 1; i <= M; i++){
        f[i] = min(m[i] - m[i - 1], 90);//压缩距离
        L += f[i];
        flag[L] = 1;
    }
    L += f[M + 1];
    for(int i = 1; i <= L + 9; i++){//最后一步可能从L-1跳到L+9
        dp[i] = 0x3f3f3f3f;
        for(int j = S; j <= T && i >= j; j++){
            dp[i] = min(dp[i], dp[i - j] + flag[i]);//dp过程
        }
    }
    int minn = 0x3f3f3f3f;
    for(int i = L; i <= L + 9; i++){
        minn = min(minn, dp[i]);在最后刚好到达到超过的dp[i]中找最小值
    }
    printf("%d\n",minn);//完
return 0;
}

总结：动态规划非常重要，至少要先熟悉各种dp。