洛谷1313 计算系数

最新推荐文章于 2024-04-25 21:48:03 发布

zero_from

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分类专栏：题解文章标签： noip 数论快速幂大组合数取模洛谷

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这是一道NOIP2011提高组的题目，要求求出(by+ax)^k展开后x^n*y^m项的系数，对10007取模。解题关键在于应用二项式定理和快速幂算法，同时要注意大组合数取模的计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

NOIP2011 Day2 T1

原题地址

题目描述

给定一个多项式(by+ax)^k，请求出多项式展开后x^n*y^m 项的系数。

输入输出格式

输入格式：

输入文件名为factor.in。

共一行，包含5 个整数，分别为 a ，b ，k ，n ，m，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

输出共1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对10007 取模后的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

11 3 1 2

输出样例#1：

说明

【数据范围】

对于30% 的数据，有 0 ≤k ≤10 ；

对于50% 的数据，有 a = 1，b =1；

对于100%的数据，有 0 ≤k ≤1,000，0≤n, m ≤k ，且n + m = k ，0 ≤a ，b ≤1,000,000。

noip2011提高组day2第1题

对于学过二项式定理的高二高三党来说，这就是一道送分题。。。如果能顺利地打出大组合数取模和快速幂的话。

二项式定理：

Tk+1表示(a+b)ⁿ展开式的第k+1项，其通式为T^k+1=C(n,k)a^kb^(n-k)。然后就可以解决了。直接跑组合数（本蒟蒻用逆元写的，老实说卢卡斯定理不怎么会用，用不好了有可能超时），再跑两个快速幂就出来了，唯一比较坑的地方就是要打好多好多次取模，一不留神就可能出错，所以要细心。

参考代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
int jc[1005];
const int mod=10007;
long long power(int x,int y)
{
     longlong re=1,a=x;
     inti=y;
     for(;i;i=i>>1,a=a*a%mod)
         if(i&1) re=re*a%mod;
     returnre;
}
 
long long C(int n,int m)
{
     if(m==0) return 1;
     if(n==m) return 1;
     return((jc[n]*power(jc[m],mod-2))%mod*power(jc[n-m],mod-2))%mod;
}
 
int main()
{
     inta,b,k,n,m;
     cin>>a>>b>>k>>n>>m;
     longlong p1,p2,p3,p;
     jc[1]=1;
     for(int i=2;i<=k;i++)
         jc[i]=(jc[i-1]*i)%mod;
     p1=C(k,min(n,m));
     p2=power(a,n);
     p3=power(b,m);
     p=(p1%mod*p2%mod)%mod*p3%mod;
     cout<<p<<endl;
     return0;
}