26、频谱分析与估计方法详解

频谱分析与估计方法详解

1. 频谱分析简介

频谱分析旨在将时间序列建模为正弦和余弦的线性组合。在研究中，我们可以通过模拟特定的时间序列模型，如 AR(1) 模型，来探讨频谱密度的相关性质。例如，模拟一个长度为 (n = 200)，(\varphi = -0.6) 的 AR(1) 模型，其理论频谱密度和样本频谱密度会呈现出不同的特征。

以下是模拟 AR(1) 模型并绘制样本频谱密度的 R 代码：

win.graph(width=4.875,height=2.5,pointsize=8)
set.seed(271435); n=200; phi=-0.6
y=arima.sim(model=list(ar=phi),n=n)
sp=spec(y,log='no',xlab='Frequency',
ylab='Sample Spectral Density',sub='')
lines(sp$freq,ARMAspec(model=list(ar=phi),freq=sp$freq, 
plot=F)$spec,lty='dotted'); abline(h=0)

2. 样本频谱密度的抽样性质

为了深入了解样本频谱密度的性质，我们从最简单的情况入手，即时间序列 ({Y_t}) 是零均值正态白噪声，方差为 (\gamma_0)。对于非零傅里叶频率 (f = j/n < 1/2)，(\hat{A}_f) 和 (\hat{B}_f) 是时间序列 ({Y_t}) 的线性函数，它们都服从正态分布。

通过余弦和正弦的正交性，我们可以得到以下结论：