9、频谱分析与加窗技术详解

频谱分析与加窗技术详解

1. 理论基础

在信号处理领域，频谱分析是一项关键技术，它能帮助我们将离散时间信号从时域转换到频域。快速傅里叶变换（FFT）是实现这一转换的常用方法，它能让我们直观地观察信号的频率成分。在许多实际应用场景中，如通信、音频系统等，工程师和技术人员都需要具备分析信号频域表示的能力。

频谱分析和估计是一个广泛的话题，可分为非参数方法和参数方法。使用FFT属于非参数方法，虽然它对于某些特殊类型的信号并非最优，但具有易于使用和高效计算的优点，因此是目前最常用的技术。数字示波器和频谱分析仪通常采用基于FFT的频谱分析方法。

1.1 信号的功率谱

我们的目标是获得给定信号的功率随频率的分布，即功率谱。FFT的输出是复数，这里我们主要关注功率谱的幅度，而不考虑相位。

若离散时间信号x[n]作为FFT的输入，输出为X[k]，即FFT{x[n]} = X[k]。在时域中，n的每次增加对应信号中的Ts = 1/Fs秒的差异；在频域中，k的每次增加对应∆f = Fs/N的差异，其中N是FFT的长度，∆f称为频谱的频率分辨率。

为了得到归一化功率谱（归一化到1Ω的阻抗），我们使用以下关系：
|X[k]|² = (X[k]real)² + (X[k]imaginary)²
这将产生以瓦特为单位的幅度平方与频率的关系。

下面通过具体例子说明如何解释基于FFT的功率谱结果。假设信号x(t)以Fs = 48 kHz采样2秒，得到96,000个数据点。若对前N = 65,536个数据点进行FFT，此时∆f ≈ 0.732 Hz。如果该FFT的幅度平方在k = 100（以及k = N - 1