28、环境数据插值与分析方法详解

环境数据插值与分析方法详解

1. 高斯过程回归的参数要求与计算问题

在高斯过程回归（GPR）中，准确的参数估计至关重要。例如，对于参数 $\omega_0$ 和 $s_{est}$，需要正确或接近正确的值。若设置 $\omega_0^{est}=3\omega_0$，会在数据点之间引入虚假振荡，导致解的质量大幅下降。

当数据数量 $N$ 较大时，GPR 会面临显著的计算问题。因为存储 $N\times N$ 矩阵 $C_m^{(cc)}$ 和 $A$ 需要大量的计算机内存。不过，这些矩阵的元素是解析公式（如式 10.10），可以实时计算，无需存储完整的矩阵。脚本 edama_10_06 和 edapy_10_06 使用双共轭梯度求解器实现了这一策略，但会增加计算时间，因为同一个矩阵元素会被多次计算。

2. 高斯过程回归的参数调整

2.1 参数调整的必要性

在大多数情况下，可根据研究现象的一般行为选择合适的先验协方差函数 $C_m$。但协方差函数中的某个参数（如 $q$）可能难以仅通过先验信息确定。参数选择不当（如频率）会导致 GPR 解的质量不佳，此时就需要对参数进行“调整”。

2.2 基于贝叶斯的优化目标

高斯过程回归具有贝叶斯基础，是广义最小二乘法的特殊情况。其目标是找到使概率密度函数 $p(m|d_{obs})$ 最大化的 $m_{est}$，即：
[
\text{find the } m_{est} \text{ that maximizes } p(m|d_{obs}) \text{ with res