43、威沙特分布、巴特利特分解及相关内容解析

威沙特分布、巴特利特分解及相关内容解析

在统计学和矩阵分析领域，威沙特分布及其相关概念有着重要的地位。本文将深入探讨威沙特分布、巴特利特分解以及与之相关的一些重要内容，包括实威沙特分布、复威沙特分布、样本均值和协方差的分布，还有相干统计量的零分布等。

1. 实威沙特分布

实威沙特分布是基于随机矩阵的一种分布。若矩阵 (X) 是从 (N_{L\times N}(0, I_N \otimes \Sigma)) 分布中抽取的实 (L\times N) 随机样本，其中 (N\geq L) 且 (\Sigma\gt0)，令 (S = XX^T) 为缩放后的样本协方差矩阵。则 (S) 的概率密度函数（pdf）为：
[f(S) = \frac{1}{2^{LN/2}\Gamma_L(\frac{N}{2})\det(\Sigma)^{N/2}}\det(S)^{\frac{N - L - 1}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\Sigma^{-1}S\right)]
此即为具有 (N) 个自由度的威沙特分布 (W_L(\Sigma, N))。

当 (\Sigma = I_L) 且 (L = 1) 时，该分布可退化为 (\chi^2_N) 分布。威沙特分布在 (L = 2) 的特定情况下，最早由费舍尔于 1915 年推导得出；对于一般的 (L\geq2) 情况，则由威沙特于 1928 年推导得出。

此外，若 (S\sim W_L(\Sigma, N))，那么 (G = S^{-1}) 具有逆威沙特分布 (W^{-1}_L(\Sigma, N))，其密度函数为：
[f(G) = \frac{\det(G)^{-\frac{N +