统计学基础(三)：抽样分布定理

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定理一：

设$X_1,X_2,\dots ,X_n$是来自总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的样本，则有：
(1)$\bar{x}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$;
(2)$\bar{x}$与$s^2$相互独立；
(3)$\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

定理二：

设$X_1,X_2,\dots ,X_n$是来自总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的样本，则有：
$$\frac{\bar{x}-\mu }{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$
证明：由定理一的（1）知
$$\bar{x}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$

标准化得
$$\frac{\bar{x}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

由定理一的（3）
$$\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

又由定理一的（2）$\bar{x}$与$s^2$相互独立
$$\therefore \frac{\frac{\bar{x}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}\times \frac{1}{n-1}}}\sim t(n-1)$$

化简得
$$\frac{\bar{x}-\mu }{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

定理三：

设$X_1,X_2,\dots ,X_n$是来自总体$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$的样本；$Y_1,Y_2,\dots ,Y_m$是来自总体$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$的样本，且两个样本相互独立，则有：
$$\frac{s_1^2/{\sigma }_1^2}{s_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n-1,m-1)$$
其中$s_1^2,s_2^2$分别是两个样本的样本方差。

证明：
由定理一的（3）知
$$\frac{(n-1)s_1^2}{{\sigma }_1^2}\sim {\chi }^2(n-1)\frac{(m-1)s_2^2}{{\sigma }_2^2}\sim {\chi }^2(m-1)$$
又两个样本相互独立，
根据${\chi }^2\sim$分布的定义，
$$\frac{\frac{(n-1)s_1^2}{{\sigma }_1^2}/n-1}{\frac{(m-1)s_2^2}{{\sigma }_2^2}/m-1}\sim F(n-1,m-1)$$
化简得
$$\frac{s_1^2/{\sigma }_1^2}{s_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n-1,m-1)$$

定理四：

设$X_1,X_2,\dots ,X_n$是来自总体$N({\mu }_1,{\sigma }^2)$的样本；$Y_1,Y_2,\dots ,Y_m$是来自总体$N({\mu }_2,{\sigma }^2)$的样本，且两个样本相互独立，则有
$$\frac{(\bar{x}-\bar{y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{s_w\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\sim t(n+m-2)$$
其中$\bar{x},\bar{y},s_1^2,s_2^2$分别是两个样本的样本均值和样本方差，且
$$s_w^2=\frac{(n-1)s_1^2+(m-1)s_2^2}{n+m-2},s_w=\sqrt{s_w^2}$$

证明：由定理一知
$$\bar{x}\sim N({\mu }_1,\frac{{\sigma }^2}{n})，\bar{y}\sim N({\mu }_2,\frac{{\sigma }^2}{n})$$
$$⟹\frac{(\bar{x}-\bar{y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\sim N(0,1)$$

另外又有
$$\frac{(n-1)s_1^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1),\frac{(m-1)s_2^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(m-1)$$

由卡方分布的可加性
$$\frac{(n-1)s_1^2+(m-1)s_2^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n+m-2)$$

因为$\bar{x},\bar{y}$与$s_1^2,s_2^2$相互独立，由$t$分布定义有：
$$\frac{\frac{(\bar{x}-\bar{y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}}{\sqrt{\frac{(n-1)s_1^2+(m-1)s_2^2}{{\sigma }^2}/(n+m-2)}}\sim t(n+m-2)$$

化简得
$$\frac{(\bar{x}-\bar{y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{s_w\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\sim t(n+m-2)$$

例：设$X_1,X_2,X_3,X_4$是来自总体$N(0,1)$的样本,试确定常数C，使得
P{(x1−x2)2(x1−x2)2+(x3−x4)2>C}=0.95P\{\frac{(x_1-x_2)^2}{(x_1-x_2)^2+(x_3-x_4)^2}>C\}=0.95P{(x1​−x2​)2+(x3​−x4​)2(x1​−x2​)2​>C}=0.95

错解：$$x_1-x_2\sim N(0,2)$$
$$\therefore \frac{(x_1-x_2{)}^2}{2}\sim {\chi }^2(1)$$
同理：
$$\frac{(x_1-x_2{)}^2+(x_3-x_4{)}^2}{2}\sim {\chi }^2(2)$$
$$\therefore \frac{\frac{(x_1-x_2{)}^2}{2}/1}{\frac{(x_1-x_2{)}^2+(x_3-x_4{)}^2}{2}/2}\sim F(1,2)$$
但是这里错了，因为没有证明$\frac{(x_1-x_2{)}^2}{2}$和$\frac{(x_1-x_2{)}^2+(x_3-x_4{)}^2}{2}$是相互独立的
正解：$$\frac{(x_1-x_2{)}^2}{(x_1-x_2{)}^2+(x_3-x_4{)}^2}>C$$
$$\frac{1}{1+\frac{(x_3-x_4{)}^2}{(x_1-x_2{)}^2}}>C$$
$$\frac{(x_3-x_4{)}^2}{(x_1-x_2{)}^2}<\frac{1-C}{C}$$
$$\begin{gathered} \because x_1-x_2\sim N(0,2) \\ {x}_3-x_4\sim N(0,2) \end{gathered}$$
$$\therefore \frac{(x_1-x_2{)}^2}{2}\sim {\chi }^2(1)\frac{(x_3-x_4{)}^2}{2}\sim {\chi }^2(1)$$
又$\frac{(x_1-x_2{)}^2}{2}，\frac{(x_3-x_4{)}^2}{2}$相互独立
$$\therefore \frac{(x_3-x_4{)}^2/1}{(x_1-x_2{)}^2/1}\sim F(1,1)$$
$$\frac{1-C}{C}=F_{0.95}(1,1)$$