42、复正态分布及相关理论解析

复正态分布及相关理论解析

1. 复正态分布基础

1.1 白噪声相关

当复随机向量 (z = x_1 + jx_2) 为白噪声时，其分布为 (z \sim CNL(0, I_L))，即 (R_{zz} = I_L)，意味着 (A = I_L) 且 (B = 0)。这表明随机变量 (x_1) 和 (x_2) 是独立的正态随机向量，且具有共同的协方差 ((1/2)I_L)。此时 (z) 可表示为 (z = \frac{1}{\sqrt{2}}x_1 + \frac{j}{\sqrt{2}}x_2)，其中 (x_1 \sim NL(0, I_L)) 且 (x_2 \sim NL(0, I_L))。

二次型 (2z^H z = x_1^T x_1 + x_2^T x_2) 是实白噪声随机变量中两个二次型的和，所以 (2z^H z \sim \chi_{2L}^2)。当 (P^H) 是到 (p) 维子空间 (\langle H \rangle) 的正交投影矩阵时，更一般的二次型 (2z^H P z \sim \chi_{2p}^2)。

1.2 二元变量与单变量情况

对于二元变量 (x = [x_1 x_2]^T) 和单变量 (z = x_1 + jx_2)，有 (R_{zz} = 2\sigma_{11}^2)，复相关系数 (\kappa e^{j\theta} = 0)。(z) 的概率密度函数为：
[f(z) = \frac{1}{\pi\sigma_{zz}^2} \exp\left(-\frac{|z|^2}{\sigma_{zz}^2}\right)]
(\sigma_{zz}^2) 与 (\kappa) 以及二元变