yxriyin的专栏

问了gpt，才知道这个叫做“平行多面体体积不变性定理”（Theorem of Volume Invariance for Parallelepiped）这里面还涉及到了一个性质，就是行列式一行x倍数+其他行，行列式的值不变，这个在线性代数应该这样学里面有证明。大概思路是，先证明行列式是可乘的，然后证明初等变换的行列式为1即可。可以明显看到，根据斯密特正交化，我们可以轻松的证明这个结论。

这里也非常有意思，如果M的行列式为正，那么Q就是一个纯旋转，如果M行列式为负，那么我们需要增加一个反射矩阵。也许最好排除反射矩阵，但那样的话我们很难找到和它最近的旋转，因为每个旋转和任何反射之间的距离是固定的。这是什么意思呢，就是说如果矩阵M代表的是旋转和缩放，那么其实我们希望它是坐标系无关的。也就是说，换了个坐标系，旋转依然是旋转，缩放依然是缩放。举个例子，一个旋转矩阵的奇异值分解，可以变成无数种的两个旋转的组合。QR分解是唯一的，而且相对稳定。而极分解则是唯一的，而且是坐标系无关的，而且是容易计算的。

伴随其实是W*-->V, W*是W上面的线性泛函，只不过刚好空间都是泛函空间，所以W*和W默认是一样的。正交矩阵或者酉矩阵只是去做坐标变换（从点积的角度去考虑）这就是转置和对偶之间的联系。前面还有个没讲完的。

但现在，两个基是不同的，我们从标准基转到第一个基的矩阵，其实是第一个基在标准基下的逆矩阵。对角矩阵的上边是第一个标准正交基(e1,e2....) 所以我们先要将默认基下的向量转到标准基下面的坐标，类似与一个坐标基的转换矩阵Ax.这时候可以有一个巧妙的变换，我们假定自己知道x在e1,e2下的坐标，那么直接对角阵*坐标本身即可。首先我们将v'用矩阵P转成V1下的点v，然后用同样的线性变换T，变成APv'.注意，因为是在不同的空间下，所以同样的线性变换会展现出不同的矩阵，最后，我们再将空间变回去，这样就有了。

之前学线性代数的时候碰到过微分的情况，但那个时候还没详细解释微分方程和矩阵之间的关系，这次又碰到了，遗憾的是也没有说，于是查了写资料，特此说明。那么CA(n) = 朗达1^n * CX1 = 朗达1^n * 朗达1 X1 = langda1^(n+1) X1 = A(n+1)这个代换其实不太好理解，首先，把a(n+k-1)看成a1(n), a(n+k-2)看成a2(n)。仔细理解，我们把原来的差分方程变成了A(n+1) = A(n)这样的形式。重点是a1(n+1) 就是a(n+k)，刚好是等式左边。

我觉得重点还是在于想要去掉未知数t，只保留x。通过积分，可以让t消失。首先有离散的求和，认为系数和n可能相关，然后换成连续的积分形式。这里用到了微积分的分部积分法，等后面讲微积分的时候我们再深入。考虑底数是e，然后确保积分收敛，增加定义域范围。这个很奇妙，本来是关于t的函数，积分后t消失了，只剩s。感觉这几个部分其实并不深入。期待其他课程的讲解。这里也是同理，感觉不够深入啊。

首先g(t-T)是增长因子，对于任何时刻T，我们的输入是f(T)，它后续产生的响应和一个T时刻开始的增长因子乘积并积分。这是一种很好的总结性结论，和线性代数不同，我觉得求解常微分方程的本质应该不需要像线性代数那么深入理解。但直接看下结论就好，因为思维上其实很难有突破，这里的篇幅太少了。本质还是先转成极坐标，算出来极坐标的表达式，然后转成直角坐标表达式。极坐标的自然理解：相对于直角坐标系(x,y) 极坐标是(p,西塔）它的奥秘在于，极坐标的虚部，变成0了。他们代表的东西是一个东西。

我们可以从线性代数的角度去理解，对于解空间，他应该是有一个维数的，那么我们可以求出它的零空间先，对于零空间中的任意基的组合，都可以算出结果是0，所以我们可以无限制的去增加所有的零空间。那么剩余的，就是特解所在的空间。微分方程的右边，是一个来自外部的输入，无论是之前存钱的例子还是现在的物理的例子，右边的f(t)或者q(t)，是一个来自外部的输入。零空间中是二维的，特解和零空间的线性组合，我们之前线性代数里知道，这叫仿射子空间。我们考虑一个切平面，如果是完全对称的，那么就是一个菱形，但更多的时候是平行四边形。

这里倒是有些不同，前面我们理解的是映射之间的相等，但这里的链式法则，未知数并不一样，有t和x两个未知数，所以，还是从导数的角度去理解，但这样还有个除法的理解，不建议这么理解，会有歪打正着的感觉，而且对于多元函数也不成立。这个就是我说的更好理解的例子，我们通过换元，还是能够维持住原来的微分式子的形式。而f'(x)在两边的含义是一样的，在第一个里面，f'(x)表示的是集合z对y的微分，在第二个里面也是一样的。所以，我们只要求出它的逆矩阵，那么就是反函数的导数，求逆矩阵，其实就是方程的肖元法的过程。

这里需要理解x乘以一个复数在复平面上的效果。如果把x看成主体，那么就相当于对x进行缩放，再进行旋转。所以乘以i，就是缩放1倍，旋转90度。这里要这么理解，我们把重要极限(1+1/n)^n进行推广，用换元法，可以得到e^i = lim(1 + i/n) ^ n。然后对所有的复数乘法做几何上的理解，就相当于是一次匀速圆周运动，每次运动的最终总和为弧度1.所以，就相当于cos(x) + isin(x)

要理解，y表示的总存款，ay的意思就是利息，因为存款越多，那么获得的利息也就越多。后面是和y无关的，所以可以看成每个时间阶段新存入的钱。复习一下前面的知识，对于这个微分方程，通解为ce^at，我们知道e是连续增长模型的基数，所以相当于存了一些钱，然后走连续增长模型。这里和之前提的信号和系统有所联系，q(t)是输入，而y为输出。整个微分可以成为一个系统。那么它对时间的微分就是和自己本身相关。而特解则是利息相关的。

这里就结束了。

主要参考：线性变换的矩阵为什么要强调在这组基下? - 知乎（本回答的目标读者是线性代数的初学者。）先回答题主的问题：矩阵是对线性变换的表示；对于同一个线性变…https://www.zhihu.com/question/22218306/answer/88697757详细解释：这里很重要的是我们要知道T(vk)是W中的哪一个向量。之前我们认为v=a1,kw1 + ....am,kwm 但这里解释了这个公式描述的是V的第k个基向量，被变换到W之中后的位置。看图，......

非常赞同的一段话。当矩阵和抽象的线性变换在大脑中合二为一的时候，才是对线性代数最本质的理解。这一段非常重要。之前我们理解矩阵的空间变换，是认为在某个坐标基下，将坐标进行一个空间转换，但这里面涉及到一个很绕的点，就是列空间的表示方式是在标准空间的“误解”下。每次回想都要晕一下，但是从线性变换理解就通顺很多。首先，我们认为在世界中存在一个向量，他在不同的坐标系下有不同的坐标，例如在坐标基为v1,v2,...vn下，坐标是c1,c2,....cn. 那么这个向量就可以表达成v=c1v1 + c2v2.

首先对A做肖元法分解：因为是对称矩阵，所以可以用LT构造L(t)=(1-t)L + tI. 易得L(t)永远是非奇异矩阵。令A(t) = L(t)DL(t)T, 而且对于任何t，主元都位于D中。可以参考如下：所以A(0)和A(1)的主元是一样的。erA(0)和A(1)的特征值变化是连续的。回忆特征值的知识，我们知道特征值表示了矩阵对应的空间变化中的体积变化。所以我们连续变化这个矩阵，其实对应的体积变化也是连续的。因为这种变化是连续的，如果我们通过改变t，让特征...

这里要注意，一个矩阵的特征向量可以生成这个矩阵空间。特征值为0，那么对应的特征向量就生成矩阵的零空间。投影矩阵的特征向量可以生成整个空间。

容易忘记理论，强化下记忆。对于Ax=b，如果有解，那么b要在A的列空间内，但如果无解，那么就要考虑将b投影到A空间上，得到一个新的值，使得它是A的列空间下的最优解。而这个投影P矩阵，就是让p=Pb的结果。所以本质过程是：Ax=b 假定b不在A的列空间内，移项：Ax-b = e我们知道e垂直平面A的列空间，所以就是AT(Ax-b)=0移项，就是ATAx = ATb.注意，这个时候求出来的x，代表这投影之后的所在点p，而这个投影矩阵，就是p=Pb中的P。考察此图，..

LU分解。