yxriyin的专栏

这是一个很好的例子，首先转换器是线性的，并且保持周期不变。我们把信号f变成傅里叶积分的形式，庵后根据线性的性质，可以得到新的公式。首先我们已经知道了周期函数的傅里叶级数，接下来对于非周期函数，其实可以看成周期无穷大的函数。它相当于连续意义下的傅里叶级数。而积分中的傅里叶系数，则叫做傅里叶变换。这里要注意，我们发现这个无限周期的傅里叶级数，它应该是可以写成一个积分的。因为变成无穷了，那么相当于积分的再次积分。这个是很好理解的，当频率逐渐增大时，正负部分会抵消。这就是傅里叶变换和傅里叶积分的定义。

贝塞尔不等式，就是勾股定理。不过要注意，因为他们的基并不是单位基，所以系数做过缩放。因为逼近的快，那么自然和实际之间的估计误差也就有一个可以看到的值。这个引理的意思是，当它震动到达无穷大的时候，正负部分相互抵消了。可以看到，如果f是m阶可导的，那么傅里叶逼近速度会很快。终于，这里我们看到了傅里叶可以用等于来表示。因为是等比数列，最终可以得到一个很好的地理克雷核。后面一个题需要用到微分几何的知识，我们先不看。这里说明了泰勒级数和傅里叶级数的区别。通过复形式，可以进一步化简。这里是傅里叶的逼近速度。

为什么呢，比如泰勒展开，它的基并不是正交的，而傅里叶展开的基，是正交的，正交的好处是，我们利用勾股定理，可以确认一个上界，让这些都是收敛的。这里看到了熟悉的名字，勒让德，首先它的基是多项式，但遗憾的是这些多项式并不是正交的，知识线性无关的。卓里奇书好的一点就是，不是直接引出公式，而是告诉你理由。先引出正交的概念，然后在函数空间中，也有正交，只不过是无限维的空间。在非单位的情况下，我们需要除以基的长度，这样也能得到对应的傅里叶系数。在函数空间里面，内积是指进行积分，同时会对第二个变量取共轭。

最后我们得到了一个卷积的公式。一般，我们可以认为，对于原始函数f(t),我们通过引入了一个脉冲函数，实际也引入了一个额外的时间平移变量。重点来了，我们一个普通的信号f，可以看成分段函数，而当分段趋于无穷的时候，分段函数就趋于f，而这个分段函数，可以用脉冲函数求和来表示。这个的意思是说，一些函数可能不是无限次可微的，那么我们把它和某个 特定的函数卷积后，就可以得到一个无限次可微的函数，而且他是逼近原始函数的。这里要注意变量的区别，首先积分的被积变量是x，但是函数的变量是y，y是参数，所以叫做带参数的积分。

有x和t两个未知数，当t趋向于0的时候，f(x)=0. 不论x取什么值，都是成立的。这个很妙，里如x很小，但因为t趋向于0，所t一定能比x更小。然而，这个函数的函数族中，最大值并不是0.也就是说，虽然t趋向于0，但在任何t的基内，x都可以取到一个值，就是x=t，它不为0.对于一些复杂的函数或者非初等函数，我们要做微分和积分是困难的。这个积分的结果不是初等函数，我们可以用麦克老林级数展开，同时证明这个级数是一致收敛的。一致收敛性想要解决的问题是，对于取极限的函数族，和原始函数之间的一些一致性关系。

首先从散度的物理解释开始。首先，在球内的向量场的散度的积分，等于它在球边界上的流量的积分。所以根据积分中值定理，我们可以这么理解散度，它就是这个体积内的速度场的平均密度。而速度场只和源有关，所以它表示的某个点的源的密度。这里用了和散度一样的方法，不过分母不是体积，而是面积，这和普通的密度概念不太一样。在某个点的邻域的瞬时旋转轴，绕轴的瞬时角速度和旋转方向，就是旋度。因为存在一个点，它的密度是无穷大的。我们不好定义这样的函数，但我们可以定义它的积分。后面因为不考虑具体的物理的例子的话，是很难有印象的。

对于微分形式的求和，因为里面的向量并不是标准笛卡尔坐标系下的，所以我们需要利用拉回映射，把微分形式里的向量换成笛卡尔具体的坐标轴上，例如dxdy.通过拉回映射，我们就能看到微分形式直接作用在笛卡尔坐标轴上，那么得到的自然是标准的微元面积，和黎曼和里面的是一致的。流形式也是一样的，速度场V和法向量n的内积，再乘以微元，面积微元我们前面推导过了，是普通的二形式的线性组合。所以，假设现在有一个2形式，它对应一个向量B，我们可以反推出它的1形式，而这个1形式的向量A，和B之间存在一个关系，B=rotA。

一般的斯托克斯公式说的是，对于一个k维曲面，它上面的k-1形式w，对于dw在曲面上的积分，等于在他的边界上的w的积分。可以看到，我们把等式7继续推导，可以得到等式8，然后，取任何一个正交基向量作为新的高，可以得到等式(9).而V(x)(ei,.....)这个行列式展开就可以得到（10），ei的坐标应该是(0,0,...1,...0,0)我们用微分形式的积分定义了具有参数形式的曲面的面积。这个做法非常有意思，对于n-1维曲面，体形式既可以看成n-1维曲面的面积，也可以看成n维曲面的体积，只要保证高为1就行。

核心就是你需要证明在两个不同的标架下，两个的积分是相等的。这里要注意，前面虽然证明了外积和普通微分乘积是等价的，但微分形式的积分通过变量代换后，还是会有一个额外的雅克比行列式。这里很重要，可以卡拿到，相比起之前我们普通积分的黎曼和肯定会写出dt1dt2，微分形式的黎曼和的积分是省略后面的dt1^dt2的，或者是这个部分被合并到了2形式里面。这里要注意，微分形式的积分，在黎曼和的情况下是带作用的变量的。所以公式是显然成立的。可以看到，核心还是黎曼和，我们把两种微分的黎曼和都列出来，并且证明两个相等，即可。

先回顾下微分的概念，首先我们找到一个道路x，它是关于时间t的函数，然后我们可以得到一个速度，也就是切向量，所有道路的切向量组成了切空间。而微分是切空间的对偶空间，它的基是dx,注意dx1(x)是取x的第一个坐标，所以对于切向量，那么dx1就是取它的第一个坐标。k形式其实可以看成k个1形式的乘积，我们要引入斜对称的k形式，就需要增加一个运算A，而A的运算本质是通过行列式的组织，而这个和外积的运算刚好对应，所以外积可以看成A的一种。因为dx意味着取坐标，取坐标操作对应的行列式的运算是斜对称的形式。

这里我们看到了为什么要引入行列式，是因为一个取坐标的操作的张量积放到斜对称形式的推导里面，会得到一个式子，这个式子就是行列式的公式。Y上的k形式，作用在Y的基上引出的系数b。和对偶映射X上的k形式，作用在X的基上引出的系数a，他们之间的系数关系和基的关系的表达式。我们得到了两组基向量的关系，他们对应的对偶映射的k形式也是具有类似关系的。按照前面的公式，我们可以发现取坐标的外积，最终就是这些坐标分别取出来组成一个矩阵的行列式的值。k形势下的坐标形式，后面的y的一堆的乘积就是坐标，前面是k形式作用在基上的值。

所以我们再看下，对于切空间中的向量，我们的余切空间提供了一个固定函数，或者说对于一个固定的函数f，余切空间是把切向量的每个分量分别作用在f上，然后再相加，有点类似于内积的操作。所以，虽然切向量的每个分量看上去也是个偏导，但他因为没有固定的函数，而且是一个“向量”，所以还需要余切空间的帮忙，对应一个固定的f，同时也引入内积的部分，得到一个R。这里也要好好理解，流形上的F，是一个定义在流形道路上的函数f，它的微分运算具有(8)(9)的形式，那么他们肯定包含切向量，这个切向量是微分中需要用到的。

这个要好好理解，按理说它取到的是ei的坐标，就是1.当然，我们可以感受到，如果坐标是其他值，也是可以的，只要复合约定就行。而且既然是线性，那么如果是一维的，就应该是y=kx。这里要注意：(v1, v2), (w1, w2, w3)那么它的基有6个：(v1,w1),(v1,w2),(v1,w3), (v2,w1),(v2,w2),(v2,w3)这里其实并没有那么好理解，要注意，得到f和后面的表达式后，因为要说明后面是f的一组基，首先得到他们是线性无关的，而且按照我们前面对偶基的写法，我们也能慢慢理解。

也就是说，微分，要先对我们的标量场进行方向导数的求导，得到一个向量场，然后再对这个向量场映射到一个F，这是它的对偶映射，也就是余切向量。df=bi axi，注意，这是求和。我们简单思考下，对于g而言，它的标量场只含有x1的元素，那么它的切向量，也就只会需要对x1求偏导，同样的，对于切向量的映射到R，最终也只会需要dx1存在，因为dx2,dx3映射的值都是0.这是一个很好的例子，我们首先找到流形M点p上的一个向量，这个向量一看就是切向量，也就是求方向导数，那么微分作用到它身上，就会映射到余切向量，

每一个方向导数的结果就是一个“斜率”，理论上我们可以写出这个斜率下经过p点的“直线方程”，我们把所有的方向全部组合在一起，所有的直线就变成了平面，也就是这个场的超平面。也就是说，三维空间下的一个二维曲面是一个微分流形，我们取它的一个局部，它应该同胚于R^2，然后我们应该有一个到R的映射，这就是它的泛函。不过也对，本来求导后得到的是一个切空间，但现在考虑的是完整的流形M，那么所有的切空间的合集应该还是一个标量场。注意“场”是一个映射，把流形映射到一个标量上，形成的一个“场”，这个场是映射本身的性质。

然后我们想要给拓扑空间上的每个点都分配一个坐标，我们就把这些开覆盖都局部同胚到Rn空间里，这样它就都有了坐标。接着，我们想在拓扑流形上研究微分，那么就要保证拓扑上具有微分结构，也就是光滑标量场的存在。这就要考虑到两两之间的重合部分也得是光滑的，所以就引出了坐标变换的映射是光滑的才行。流形之间的映射的光滑是比较复杂的， 需要利用R^n作为媒介。如果流形本身是光滑的，那么流形之间的映射是不是光滑的呢？那么M就是拓扑流形。拓扑是一个集合，是集合X的所有的子集。直观的记忆就是拓扑就是一个集合的所有的开子集吧。

首先要把这n个m维向量进行格拉姆斯密特正交化，得到正交后的Umn.为什么会想到这个，因为对于坐标个数和实际空间维度不同的情况下，我们可以利用标架，想办法找到和坐标个数相同的维度，进而回到我们熟悉的n=m的情况下进行讨论。这里熟悉线性代数的人肯定知道，UUT的乘积，表示V空间的投影矩阵，它的意思是把一个向量投影到U的列空间中，得到的值就是这个列空间下的坐标。格拉姆矩阵是矩阵C行列式的平方，而矩阵C的列，就是原本空间在斯密特正交化后的空间下的坐标的体积。这个公式仔细看，其实就是我们的求导啊。

对于任意的dxdy，通过x=x(t1,t2....tm), y = y(t1,t2....tm) 就变成了一系列的求和，每个求和前面都是对应的偏导的雅克比矩阵的行列式的值。每个分量都是一个求和的式子。这是一个很好的题目，首先2形式相当于微分dxdy，而U代表的是dt1,dt2...dtm,这样相当于问我们要怎么进行换元。这是一个整体，实际上到右边后，w作用的是V上的变量，同时也必须是V上的坐标，那么原来的坐标就要通过切空间转换过去。注意这个式子，t属于U，phit转到了V，但是坐标也发生了变化，这是因为。

考虑一个平面上的坐标，我们任意一个坐标基方向的极小的变化，都会引起曲面上的一个极小的变化。这个极小的变化的向量，是两个点的差值，根据微分中值定理，我们可以找到这点的导数对应的自变量变化的乘积。后面是说可以去掉k-1维的部分，但积分的结果是不变的。这是一个比较重要的例子，从里面我们可以看到因为每个坐标都是基坐标的求和，所以都需要展开，写成求和公式后，这个坐标形式看着还是挺复杂的。不过这个形式可以启发我们的思考，对于任何k维的形式，可以拆成一堆最简单k形式的组合，而这些组合的单个个体是一堆1形式的外积。

首先当x1=0的时候，y=0，此时不论x2,x3怎么变换，y始终是0，也就是y对他们的变化率是0.所以y对x2,x3的求导就是0. 而如果把x1看成未知数，那么知道一个点的值并不能知道具体的导数。r是常数，a是参数，那么a就可以有自己的参数域(0,2π),注意，这是个开集，会挖掉一个点。这里要注意，莫比乌斯环的法向量场是不存在的，因为饶了一圈之后，它的法线就反了。所以，矩阵变换把空间坐标v变到空间坐标w，而它的转置，则把基向量w变到基向量v。直观的理解就是，如果基不变，那么线性变换代表的矩阵就是坐标变换。

终于，我们要看到我们最关心的重积分的变量代换，遗憾的是，这里只对了微分同胚的情况下做了描述，也就是对于二元换三元这种非微分同胚的情况下，我们依然不能够得到答案。一个函数f(x)的积分，而且连续的话，可以可以找到一个f(kexi)miu(E)，和这个积分相等。我们有了求和公式，自然想到了积分的定义，根据线性代数的知识，一个线性变换会导致测度的变换，它的倍率就是雅克比矩阵的行列式。几乎处处连续，指的是不连续点的测度是0.例如在所有的有理数点间断，但因为所有的有理数点的测度是0，所以依然是可积。

如果这两条先相切，那么在足够小的邻域内，等高线高的部分和这条曲线就没有交点，而等高线低的部分，存在两个交点，交点中间的部分，要么都大于，要么都小于。这里可以这么用几何的方向考虑，对于一个二元函数f(x,y), 它的所有值可以填充一个完整的二维曲面，但如果我指定了某一个常数c，让f(x,y）= c,那么就相当于在这个曲面上截取了一条曲线。同时，克赛和gradf也正交，因为TS属于TN，那么TN的正交补就属于TS的正交补，所以gradf所在的空间是属于gradF，所以就得到了31.

我是这么理解秩定理的，对于一个映射，我们可以不断的寻找微分同胚来简化这个映射，如果它们已经是微分同胚，那么其实就是可以简化成一个恒等映射。同时，通过对称矩阵的对角化，可以把特征值的矩阵当成换元，所以可以直接假设二次型矩阵就是一个对角矩阵。二阶偏导数的特点在于它的矩阵是对称的，实对称的矩阵是正定的，可以对角化，也就是可以化成标准型，或者叫可以正则化。这个要这么理解，对于函数f，如果它每个分量都是独立的，那么用一个F函数，带入它们等于=0，只有一种情况，就是F函数本身就是零函数。这个引理的证明也非常困难。

这里要注意，梯度和切平面是相互垂直的，同时，也可以认为它和函数F的等值面正交。等值面可以这么理解，首先我们熟悉的是F(x)=0,我们改变右边的值，相当于不改变形状的情况下进行图形变换，考虑一个圆，改变右边的值相当于对这个圆做缩放。如果说一个映射是光滑的，那么在一个点的小邻域内，它的性质和它的微分基本一样。切平面方程是一个很重要的方程，对于一个曲面F,它的切平面方程就是上面写的这个。换成对应的(x-x0)之类即可，就得到第一种显式的切平面方程，这里的显式指z=f(x,y)是一个显式方程。

它在R^m中连续，也在R^m-1维的球面上连续。这里其实有点难理解，用了一个技巧，它把所有的h里的分量进行了归一化，然后把|h|提取到前面。然后因为我们只关心前面的正负号，所以可以忽视被提取出去的项。而归一化后的变量，可以看成一个在球面上的紧集。这里要注意，其实它把不确定性给提取出去了，本来这可能是一个无穷的，但是现在变成了 一个无穷的*有界集。然后s(t) = x + th, s是R^n空间下的。所以是R-->R^n--->R的一个函数。这是一个复合函数，R空间下的t，老师的证明更加清晰。

首先因为n的时候成立，所以括号里面的n阶偏导可以任意调换顺序，所以我们只要证明i1能和其中任何一个进行顺序交换，那么就可以换出所有的排列组合。然后拆成i1i2(),因为两个之间可以交换偏导成i2i1，再合并i2(i1....) 证明完成。这就是当z是R的情况，在一元微积分里面我们经常看到这样的公式。这个的-1，并不是倒数，而是取逆，也就是逆矩阵。（4）确实不太好理解，但从证明来看确实如此。梯度的含义，简单来说，就是变化最快的那个方向。证明非常巧妙，让人惊叹。多元函数的中值定理，

这段话要好好理解，向量h是点x上的切空间里的向量，它上面的微分值是f(x)里的切空间里的向量。所以f'(x)的线性映射就是x的切空间到f(x)的切空间的映射。首先我们把映射f拆成多个(f1,f2,....fn),这样每个映射都可以用里斯表示定理，得到偏导数的求和形式，然后再展开成两个矩阵的乘积。这里我们就要开始适应多元微积分的概念，这里的f'(x)并不是一个斜率，而是一个矩阵，是一个线性映射。这是一个非常重要的概念，我们是根据不等式，然后引入了向量之间的夹角的概念。这是内积的概念，经常说的欧几里得空间。

这里引出了完备度量空间的概念，其实我一开始也没明白为什么基本点列会没有极限，后来查了才知道，对于一个开区间(a,b),如果它的基本点列最终的极限是b，那么因为b不在这个空间中，所以我们认为这个空间不是完备度量的空间。这个还挺有意思的，对于极限趋于无穷的写法是，对于任何球的邻域，都可以找到一组基，使得这组基对应的像都不在这个球中。换句话说，再大的球，我们都可以找到一组基，使得基里的每个像都比这个球还要大，这就是无穷。，都可以找到一个足够小的区间，在这个区间上的任何两点对应的像的距离都小于它。

这样我们就结束了数学分析中和微积分重合的部分，重点在后面了。这里解释了用参数方程来推倒圆周长公式的逻辑漏洞，非常棒。这里把弧长微分公式的推倒用速度来理解，非常不错。复数相乘，是模相乘，辐角相加。

其实这些内容我们在微积分中都学习过了，不过数学分析角度确实不同。可以看到，数学分析中对于微分的解释更加详实，但也更加抽象难懂。

就是找到任何以一个A的一个小领域，我们都能找到基中的一个元素，让它所有的像都在这个小领域中，那么就是这个极限存在，而且为A。基是集合族，也就是集合的集合。任何两个元素的交集（也是一个集合）还是这个集合族中的某个元素（集合）。对于任何数列，下极限是其部分极限中的最小者，上极限是其部分极限中的最大者。数列有极限或趋于无穷的充要条件是其上下极限相等。

他的物理意义，左边首先是做功这样的物理量，右边则是我们取一点M，做一个单位矢量n，过M点做平面和n垂直，再在平面上画一个封闭曲线L包围M。在L上各个点做切矢量t，考察矢量场v和方向t的一致性，越接近我们认为涡旋程度越大，同时，如果矢量场本身大小也大，那么相应的乘积也会变大。而曲面积分，则可以看成一个矢量场通过某个曲面的流量，例如流体的流量，磁力的磁通量等。高斯公式左边的物理意义就是所谓的通过曲面的流量或者通量，而右边需要引出散度的定义。为封闭曲面，单位外法矢量为n，通量就是左边的式子积分。

这里要注意，3--->5的时候，因为换元，所以积分上下限要自己换好。同理，如果把v.n直接看成一个数量，那么其实就是第一类曲面积分，第二类曲面积分的特殊性就在于被积函数是两个矢量的点乘。老师的解释是：第二类曲线积分是特殊的第一类曲线积分，它的被积函数是两个矢量的点乘。这里，简明微积分里面有个非常精彩的证明，参数曲面的第二种曲面积分计算方法。它的行列式和我们推到出的结果实际上是不一样的，这个要等数学分析里面解答。但这里的叉乘是三维空间的，我们按照三重矢量积的叉乘公式。就是这个点在曲线上的单位切矢量。

注意到，我们现在是F(x,y,z)=0，其实他就是z=f(x,y)的隐函数，也就是说,dz和dx,dy是有关系的。dx,dy可以是任意方向，但dz一定保证了从任何一点出发P(x,y,z), P(x+dx,y+dy,z+dz)一定还是在曲面上。所以，dudv的改变量，到了xy下，就是(x,y),（x(u+du,v), y(u+du,v)）,(x(u,v+dv),y(u,v+dv),(x(u+du,v+dv),y(u+du,v+dv))这四个点围成的新的平行四边形的面积。所以后面两者的叉乘就是它的法向量。

假设两个矩形不平行，我们假设最短距离的点在矩形的内部，显然，从任何一个方向出发，对于另一个矩形来说，都存在靠近或者远离。因为两个相反的方向必然导致相反的结果。只考察投影后没有重叠的情况，那么显然，最近的两个点肯定在矩形的边缘上。不考察最终的求解方法，只说明为什么满足条件的点只可能在矩形的边缘。那么容易知道，如果他们有投影重叠的部分，显然是一个简单的答案。求3维空间中两个矩形之间的最短距离。似乎要学习李群李代数，慢慢来吧。

而我们必须放到xy坐标系下的绝对空间中比较，因为f(ui,vi)是直接把x，y换成uv表达式的。知乎上是没有这个高阶无穷小的项的，但我觉得简明微积分里的更加正确，只有加了d的微分才可以舍弃高阶无穷小，而上面这个是等于号，我认为不能舍弃高阶无穷小。就是对于区域D下的面积，和每个微元的函数值的积分，最终形成体积的概念。对于多元微积分来说，下面的分母应该就是自变量改变量的距离，一般我们对距离的定义就是。在换元uv之后，这个标准的矩形会被扭曲掉，面积也会变成新的。这里要注意，混合机对应的就是三阶行列式的值。

泰勒公式 用柯西定理证明拉格朗日余项麦克劳林展开式： 皮亚诺余项的泰勒公式： 弧长的微分 注意s'(t)需要在后面证明（定积分的知识）不定积分：注意，不同的积分方法经常会得到不同的结果，但它们一定只相差一个常数定积分： 可积分的充分条件： 积分中值定理： 微积分基本定理： 注意积分变量和上限变量是不一样的，但都写成x方便。积分变量可以随便换。牛顿-莱布尼兹公式一般变限积分求导 曲线弧长： 在此证明 圆的周长公式： 弧长微分公式： 圆台侧面积问题： 注意，在做近似的时候，需要保证误差必须是变量的高阶

1.单调有界定理若数列递增有上界，则数列收敛（递减同样）2.海涅定理（归结原则）说明：对于任何的属于空心邻域的数列，而且这些数列的极限都是x0. 3.两个重要极限：4.11个重要极限 导数定义的三种形式： 反函数求导法则： 证明： 重点在于因为函数连续，所以有x趋于0的时候有y=0求导链式法则证明： 这里主要是需要补充当u可以为0的时候=0的定义理解下就好，证明我个人不是很感冒。微分，自变量的增量就等于自变量的微分 这里A和x虽然无关，但x是趋于0的对于函数y=xdy = df(x) = dx =

（可以感受到，微积分和线性代数有点不同，有很多技巧性的东西，也许可以看其他微积分教程，暂时先不管。这里很有意思，无理数一定是夹在两个有理数中间的，而且两个有理数数列的极限就等于这个无理数。我们可以继续通过不等式，得到lnx^a1 < lnx^a