NOIP2008 传纸条双线程DP

最新推荐文章于 2025-01-23 20:29:54 发布

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本文介绍了一种使用三维动态规划解决最优路径问题的方法，旨在帮助两位朋友通过传递纸条进行交流，寻找从矩阵左上角到右下角的两条路径，使路径上的好感度之和最大。

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

感觉大家都很喜欢写四维DP。

我来发个三维DP（虽然也没多少区别QAQ..）。

这题和前面1004方格取数一毛一样。

首先，要找来回两条路径，这样考虑太麻烦，把它转化为两个人从1,1这点一起走，一直走到n,m这点所经过的路径。

定义f[p][i][j]表示当前走了p步，第一个人走到第i行，第二个人走到第j行的最大价值。

显然两个人的坐标都可以计算出来，第一个人是(i,p-i+1)，第二个人是(j,p-j+1)。

转移就考虑两个人的上一步是怎样走的。

f[p][i][j] = max(max(f[p - 1][i][j], f[p - 1][i - 1][j]), max(f[p - 1][i][j - 1], f[p - 1][i - 1][j - 1])) + a[i][p - i + 1] + a[j][p - j + 1]。

由于两条路径经过同一个点的价值只能算一次，所以如果当前i==j（相当于两个人的位置重合了），我们只能算一遍该点的价值。

所以整个转移就是这样了：

f[p][i][j] = max(max(f[p - 1][i][j], f[p - 1][i - 1][j]), max(f[p - 1][i][j - 1], f[p - 1][i - 1][j - 1]));

f[p][i][j] += i == j ? a[i][p - i + 1] : a[i][p - i + 1] + a[j][p - j + 1];

是不是很简单。。

几个注意事项：

1.数组别开小，f[][][]的第一维要两倍的n。

2.for()的时候要注意因为这里的i,j都是行，所以都要枚举到n，不要习惯性地写成n,m。

#include <cstdio>  
#include <iostream>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
  
int m,n,a[52][52],dp[104][52][52];  
int main()  
{  
    scanf("%d%d",&m,&n);  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
        for(int j=1;j<=n;j++)  
            scanf("%d",&a[i][j]);  
      
    for(int p=1; p<=m+n-1; p++)  
        for(int i=1; i<=m && i<=p; i++)  
            for(int j=1; j<=m && j <=p; j++) {  
                dp[p][i][j] = max(max(dp[p-1][i][j],dp[p-1][i-1][j-1]),max(dp[p-1][i][j-1],dp[p-1][i-1][j]));  
                dp[p][i][j] += i==j ? a[i][p-i+1] : a[i][p-i+1]+a[j][p-j+1];  
            }  
              
    printf("%d",dp[m+n-1][m][m]);  
      
    return 0;  
}

个人感觉上面的不对，允许走重复了？？还是我理解不到位

PS:有点想明白了，好像没问题。

附上另外一种版本:

关键字：
双线程DP
思路
不要按照题目中所给的思维方式，而是可以这样想纸条同时从1,1出发，并描述这种状态。
动态规划后效性思考，因为离开某个点之后，便不可能在回来，并且在转移时，判断同时转移的两点是否相同，若相同，F值不操作，所以必定最小不会影响结果。由以上两点 F值与其中的路径无关，所以无后效性。
方程的思考：同时描述两个纸条的转移以来消除后效性，维度确定后便很容易确定方程
F[i][j][k][l]=max{F[i-1][j][k-1][l],F[i-1][j][k][l-1],F[i][j+1][k-1][l],F[i][j+1][k][l-1]}+a[i][j]+a[k][l].
含义：当一张纸条传到i,j 另一张传到k,l时路径上权值的最大值；
优化
仔细观察很容易得到一个这样的结论纸条传的横坐标+纵坐标=走的步数; 通过这个结论便很简单的消维
结论
双线程DP主要就是状态描述双线程就OK 很简单。而通过发现结论消维是DP的重要优化手段

#include<stdio.h>
int n,m;
int i,j,k;
int Map[51][51];
int F[111][51][51];
int Max(int a,int b,int c,int d)
{
if(a>=b&&a>=c&&a>=d)
return a;
if(b>=a&&b>=c&&b>=d)
return b;
if(c>=a&&c>=b&&c>=d)
return c;
if(d>=a&&d>=b&&d>=c)
return d;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&Map[i][j]);
for(k=1;k<=n+m-2;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(i==n&&j==n&&k==n+m-2)
F[k][i][j]=Max(F[k-1][i-1][j],F[k-1][i][j-1],F[k-1][i][j],F[k-1][i-1][j-1])+Map[i][k+2-i]+Map[j][k+2-j];
else if(i!=j&&k+2-i>=1&&k+2-j>=1)
F[k][i][j]=Max(F[k-1][i-1][j],F[k-1][i][j-1],F[k-1][i][j],F[k-1][i-1][j-1])+Map[i][k+2-i]+Map[j][k+2-j];
printf("%d",F[n+m-2][n][n]);
return 0;
}

以及另外一种

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int a[55][55],dp[55][55][55][55];
int main(int argc, char *argv[])
{
	int t,n,m,i,j,p,q,ans;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>n>>m;
		for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=m;j++)
		cin>>a[i][j];
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=m;j++)
		for(p=i+1;p<=n;p++)
		{
			q=i+j-p;
			if(q<=0) continue;
			dp[i][j][p][q] = max(max(dp[i-1][j][p-1][q],dp[i][j-1][p][q-1]),
                                         max(dp[i-1][j][p][q-1],dp[i][j-1][p-1][q])) + a[i][j] + a[p][q];
		}
		ans=max(max(dp[n-1][m][n-1][m],dp[n-1][m][n][m-1]),
                      max(dp[n][m-1][n-1][m],dp[n][m-1][n][m-1]));
  		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int m,n,a[52][52],dp[104][52][52];
int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	
	for(int p=1; p<=m+n-1; p++)
		for(int i=1; i<=m && i<=p; i++)
			for(int j=1; j<=m && j <=p; j++) {
				dp[p][i][j] = max(max(dp[p-1][i][j],dp[p-1][i-1][j-1]),max(dp[p-1][i][j-1],dp[p-1][i-1][j]));
				dp[p][i][j] += i==j ? a[i][p-i+1] : a[i][p-i+1]+a[j][p-j+1];
			}
			
	printf("%d",dp[m+n-1][m][m]);
	
	return 0;
}