复数与复平面

复数与复平面

1.基本定义

复数定义： 设$x$与$y$都是实数，称$x+iy$为复数，记$z=x+iy$

实部$Rez=x$ ，虚部$Imz=y$，$C$为复数集

0定义： $x=y=0$

相等定义： $x_1=x_2,y_1=y_2$↔$z_1=z_2$

2.代数运算

加减 $z_1\pm z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$
乘 $z_1{z}_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_2)$
除 $\frac{z_1}{z_2}=\frac{(x_1{x}_2+y_1{y}_2)+i(x_2{y}_1-x_1{y}_2)}{{x_2}^2+{y_2}^2}$
加减满足交换律，结合律。减是加的逆运算。乘满足交换律，结合律，对加法的分配律。除是乘的逆运算。

(C,+,·) forms a filed （复数及其上的代数运算，构成一个域）
注意： 复数不可以比大小

3.共轭定义

$\overline{z}=x-iy$
性质：
\qquad (1)$\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}$
\qquad (2)$\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$
\qquad (3)$\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}(z_2\ne 0)$
\qquad (4)$\overline{\overline{z}}=z$
\qquad (5)$z\overline{z}=|z{|}^2$ 可以将平方拆成乘积！！！
\qquad (6)$z+\overline{z}=2Rez$$z-\overline{z}=2Imz$

4.复平面及向量表示

用平面上横坐标$x$，纵坐标$y$的点来表示复数$z=x+iy$，平面的点与全体复数建立一一对应的关系。
称表示复数的平面称为复平面或$z$平面

在复平面上，我们也可以用从原点到点$z=x+iy$所引的向量表示这个复数，复数和向量之间构成一一对应的关系。

5.模定义

复数所对应的向量的长度称为复数的模或绝对值： $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$,
性质：
\qquad (1)$|x|\le |z|,|y|\le |z|,|z|\le |x|+|y|$
\qquad (2)$||z_1|-|z_2||\le |z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$ (三角形的三边关系）
当$z_1{z}_2$为正实数时取等号

6.辐角与主辐角(主值)

把实轴正向到非零复数$z=x+iy$所对应的向量间的夹角$\theta$称为$z$的辐角$(Argument)$，记作$Argz=\theta ，z\ne 0$.

注意：

1. 任一非零的复数有无穷多个辐角，用$argz$表示其中一个满足条件$-\pi <argz\le \pi$的角，称其为$Argz$的主值，或$z$的主辐角
2. 复数0没有辐角，$z=0\leftrightarrow |z|=0$,不需要角度，而$|z|=r,r$为实数且不为0，此时$z$不唯一，需要角度

7.三角形式和指数形式

1） 利用直角坐标与极坐标之间的关系：$x=rcos\theta ,y=rsin\theta$，得到复数的三角形式：$z=|z|(cos\theta +isin\theta )$
2） 利用欧拉公式 ：$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$得到复数的指数形式：$z=|z|e^{i\theta }$

注意：

1. 因为辐角有无穷多种选择，所以复数的三角表示不唯一，如果两个三角表示相等$r_1(cos{\theta }_1+isin{\theta }_1)=r_2(cos{\theta }_2+isin{\theta }_2)$ ，则$r_1=r_2,{\theta }_1={\theta }_2+2k\pi$，其中$k$为整数
2. 指数形式也是同样的，因为$e^{2\pi i}=1$,复数的指数函数也具有周期，即
   $r_1{e}^{i\theta 1}=r_2{e}^{i{\theta }_2}$ ，则$r_1=r_2,{\theta }_1={\theta }_2+2k\pi$，其中$k$为整数

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由复数的指数形式的乘除运算可以得到一些结论：

1. 两个复数乘积的模等于它们模的乘积，辐角等于它们辐角之和
   $z_1{z}_2=|z_1||z_2|e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$
   则$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|，Arg(z_1{z}_2)=Arg{z}_1+Arg{z}_2$
2. 两个复数的商的模等于它们模的商，辐角等于它们辐角之差
   $\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$
   则$|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|},Arg(\frac{z_1}{z_2})=Arg{z}_1-Arg{z}_2$

注意：

1. 由于辐角我是多值的，多值函数相等时$Arg(z_1{z}_2)=Arg{z}_1+Arg{z}_2$，可以理解为：对于左端的任一个值，右端有一值与它对应；反之也一样
2. 复数相乘的几何意义：当用向量表示复数时，表示$z_1{z}_2$的向量是从表示$z_1$的向量旋转$Arg{z}_2$的角度，并伸长(缩短)到$z_2$倍得到
3. $arg{z}_1,arg{z}_2$并没有上述关系

8.乘幂与方根

1.乘方
设复数$z=|z|e^{i\theta }=|z|(cos\theta +isin\theta )$,$z^n=|z{|}^n{e}^{in\theta }=|z{|}^n(cosn\theta +isinn\theta )$
当$|z|=1$时$(cos\theta +isin\theta {)}^n=cosn\theta +isinn\theta$——棣莫$(DeMoivre)$公式
2.开方
$w=\sqrt[n]{z},z=r{e}^{i\theta },w=\rho e^{i\varphi }$,则${\rho }^n=r,n\varphi =\theta +2k\pi$，则$\rho =\sqrt[n]{r},\varphi =\frac{\theta +2k\pi }{n},w=r^{\frac{1}{n}}(cos\frac{\theta +2k\pi }{n}+isin\frac{\theta +2k\pi }{n})=r^{\frac{1}{n}}{e}^{i\frac{\theta +zk\pi }{n}},k=0,1,...,n-1$

注意：

1. 当$k=0,1,...,n-1$时可以得到n个互异的根，而$k=n,n+1,...$时，这些根重复出现。
2. n次方根的几何意义：n个值是以原点为中心、$r^{\frac{1}{n}}$为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。
3. the all values of n $\sqrt[n]{z}$ ——k=0,±1，…;
   the distinct roots——k=0,1,…,n-1;
   the principal root ——k=0
   ​

9.复球面与扩充复平面

复平面可以用平面的点和向量表示，下面引入复数的另一种几何表示。
\quad 考虑三维的单位球面$S$,以球心$O$为原点建立三维坐标，球面上的点$N(0,0,1)$为球面北极，$xOy$平面构成复平面，连接复平面上的点$z$和$N$，交于球面点$P$，则 S / { N } ↔ 1 − 1 C S/\{N\}\overset{1-1}{↔}C S/{N}↔1−1C，即建立球面上除北极点外与复平面的一一对应关系
\quad 引入无穷远点$\infty$，取复平面的一个以原点为中心的圆周$\Gamma$，在球面上对应的也是一个圆周(纬线)$\Sigma$,当$\Gamma$的半径越大时，$\Sigma$就趋于北极点$N$。故将$N$看成与一个模无穷大的点对应，称为无穷远点$\infty$。复平面加上这个点$\infty$后称为扩充复平面，与它对应的是整个球面$S$,称为复球面(黎曼球面) , S ↔ 1 − 1 C ∪ { ∞ } S\overset{1-1}{↔}C∪\{∞\} S↔1−1C∪{∞}

关于$\infty$的规定

1. $\infty$是一个点，和实数中的$\infty ，+\infty ，-\infty$的概念不一样。
2. 对任意一个很小的数$ϵ>0$, { z ∣   ∣ z ∣ > 1 / ϵ } \{z|\ |z|>1/\epsilon \} {z∣ ∣z∣>1/ϵ}称为$\infty$的一个邻域。
   U ( 0 ) = { z ∣   ∣ z ∣ ＜ ϵ < < 1 } , U ( ∞ ) = { z ∣   ∣ z ∣ > R > > 1 } U(0)=\{z| \ |z|＜\epsilon<<1\} , \quad U(∞)=\{z|\ |z|>R>>1\} U(0)={z∣ ∣z∣＜ϵ<<1},U(∞)={z∣ ∣z∣>R>>1}
3. $\infty$的实部，虚部，辐角都无意义，$|\infty |=+\infty$，对于有限复数$|z|<+\infty$
4. $\infty \pm \infty ，0\cdot \infty ，\frac{\infty }{\infty }，\frac{0}{0}$都无意义.
   $a\ne \infty ，a\pm \infty =\infty ，\infty /a=\infty ，a/\infty =0$
   $a\ne 0(但可以为\infty )，a\cdot \infty =\infty ，a/0=\infty$