第一章、复数及复平面

第一章、复数及复平面

1. 复数及其几何表示

• 辐角：实轴的正向与向量z之间的夹角，记为$Argz=\theta +2k\pi$

其中只有一个值$\alpha 满足条件-\pi <\alpha \le \pi ;叫做幅角的主值，记做argz$

• $Rez=|z|cosArgz,Imz=|z|Argz$,于是有三角表示式$z=|z|(cosArgz+isinArgz)$

• $(cos\theta +isin\theta {)}^m=cosm\theta +isinm\theta$

e.g. 求$\sqrt[4]{1+i}$
$$\sqrt[4]{1+i}=\sqrt[8]{2}(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})^\frac{1}{4}$$

$$令w=\frac{1}{4}(\frac{\pi }{4}+2k\pi ),则w=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{2},(k=0,1,2,3).$$

2. 复平面的拓扑

1. 初步概念

• U(α,r)={z∣∣z−α∣<r}U(\alpha,r)=\{z||z-\alpha|\lt r\}U(α,r)={z∣∣z−α∣<r}
• $\forall r>0,U(\alpha ,r)\cap E中有无穷个点，那么称\alpha$为E的一个聚点或极限点
• $\exists r>0,使得U(\alpha ,r)\subset E,称\alpha 为E的$内点
• $\forall r>0,使得U(\alpha ,r)\cap E\ne \varnothing ,U(\alpha ,r)\cap E^c\ne \varnothing ，称\alpha 为E的边界点.集E的所有边界点所组成的集，成为集E的边界，记为\partial E$
• $E\cap \partial E$称为E的闭包
• 复平面C上的有界闭集称为紧集

2. 曲线

定义：设已给
$$z=z(t)(a\le t\le b）$$
 其中Re z(t)及Im z(t)都在闭区间[a,b]上连续.集{z(t)∣t∈[a,b]}称为一条Re\ z(t)及Im\ z(t)都在闭区间[a,b]上连续.集\{z(t)|t\in [a,b]\}称为一条Re z(t)及Im z(t)都在闭区间[a,b]上连续.集{z(t)∣t∈[a,b]}称为一条连续曲线.$如果对[a,b]上任意不同两点t_1、t_2，但不同时是[a,b]的端点，有z(t_1)\ne z(t_2)$，那么称为简单连续曲线

3. 区域

1. 定义

• D是开集；
• D中任意两个有限点可以用有限个相衔接的线段所构成的折线连接起来，而使的这折线上的点完全属于D（连通性）.

如果区域D是有界集，那么称它为有界区域；否则称为无界区域.
区域就是连通的开集.

2. 分类

• 如果D内任何简单闭曲线的内区域中每一点属于D，则称D为单连通区域.
• 不是单连通的区域，称为多连通区域.
• 在扩充的复平面$C_{\infty }$上，单连通区域的定义要作一点修改：如果区域D内任何简单闭曲线的内区域或外区域（包括无穷远点）中每一点都属于D，那么D称为单连通区域；否则D称为多连通区域

e.g. 在C∞上,{z∣2<∣z∣≤+∞}C_\infty上,\{z|2\lt|z|\leq +\infty\}C∞​上,{z∣2<∣z∣≤+∞}为单连通区域