复平面的拓扑

复分析：复平面的拓扑

$\mathbb{C}$在通常欧式距离$d(z,w)=|z-w|$下形成一个度量空间。下面讨论复平面的拓扑知识。

邻域： 设$z_0$是复平面$\mathbb{C}$的任意一点，集合Δ(z0,δ)={z∣∣z−z0∣&lt;δ}\Delta(z_0,\delta)=\{z| |z-z_0|&lt;\delta\}Δ(z0​,δ)={z∣∣z−z0​∣<δ}称为$z_0$的$\delta$-邻域。它是以$z_0$为中心，$\delta$为半径的圆盘。

集合{z∣∣z−z0∣≤δ}\{z| |z-z_0|\leq\delta\}{z∣∣z−z0​∣≤δ}称为以$z_0$为中心，$\delta$为半径的闭圆盘，记为$\overline{\Delta (z_0,\delta )}$.

设集合$E\subset \mathbb{C}$, 如果$z_0$的任一邻域内有无穷多个点属于集合$E$，则称$z_0$是集合$E$的极限点，也称为聚点。

如果存在$z_0$的一个邻域$\Delta (z_0,{\delta }_0)$使得$\overline{\Delta (z_0,{\delta }_0)}\subset E$，则称$z_0$为集合$E$的内点。

如果$z_0$的任何邻域都同时包含$E$中的点和不属于$E$的点，则称$z_0$为集合$E$的边界点。$E$的所有边界点构成的集合称为$E$的边界，记为$\partial E$.

如果$z_0\in E$, 但不是$E$的极限点，则称为集合$E$的孤立点。如果$z_0\notin E$且不是$E$的极限点，则称为集合$E$的外点。

如果集合$E\subset \mathbb{C}$中的每个点都是$E$的内点，则称$E$为开集。

如果集合$E\subset \mathbb{C}$中的每个聚点都属于$E$，则称$E$为闭集。

如果存在$R>0$使得$E\subset \Delta (0,R)$，则称$E$为有界集，否则称为无界集。

复平面$\mathbb{C}$中的点集$D$称为区域，如果满足：

• (1) $D$是开集；
• (2) $D$中的任意两点可通过属于$D$中的曲线连接。(连通性)

即，连通的开集称为区域。