概率论小结7

最新推荐文章于 2022-09-08 15:16:09 发布

ysl_ysl123

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分类专栏：概率论与数理统计

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本文详细介绍了概率论中的参数估计方法，包括矩估计法和最大似然估计法，并探讨了估计量的无偏性、有效性、相合性等评选标准。同时，讲解了区间估计的概念，提供了正态总体均值与方差的区间估计实例，以及(0-1)分布参数的区间估计和单侧置信区间的计算方法。

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参数估计

一、点估计

总体X的分布函数 $F(x;θ)F(x;\theta)$ 形式已知，但它的一个或多个参数 $θ\theta$ 未知，借助于总体X的一个样本X₁, X₂, …, X_n ，x₁, x₂, …, x_n 是相应的样本值，构造适当的统计量 $θ^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)$ ，观察值 $θ^(x1,x2,...,xn)\hat{\theta}(x_1,x_2,...,x_n)$ 作为未知参数 $θ\theta$ 的近似值。 $θ^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)$ 称为估计量， $θ^(x1,x2,...,xn)\hat{\theta}(x_1,x_2,...,x_n)$ 称为估计值。

（一）矩估计法
假设总体X的前k阶矩 $μl=E(Xl)\mu_l=E(X^l)$ 存在，样本矩 $Al=1n∑i=1nXilA_l=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^l$ 依概率收敛于相应的总体矩 $μl(l=1,2,...,k)\mu_l(l=1,2,...,k)$ ，设
${μ1=μ1(θ1,θ2,...,θk),μ2=μ2(θ2,θ2,...,θk),⋮μk=μ2(θ2,θ2,...,θk)\begin{cases} \mu_1=\mu_1(\theta_1,\theta_2,...,\theta_k),\\ \mu_2=\mu_2(\theta_2,\theta_2,...,\theta_k),\\ \vdots\\ \mu_k=\mu_2(\theta_2,\theta_2,...,\theta_k)\\ \end{cases}$
是一个包含k个未知参数 $θ1,θ2,...,θk\theta_1,\theta_2,...,\theta_k$ 的联立方程，一般可以从中解出 $θ1,θ2,...,θk\theta_1,\theta_2,...,\theta_k$ ，得到
${θ1=θ1(μ1,μ2,...,μk),θ2=θ2(μ1,μ2,...,μk),⋮θk=θk(μ1,μ2,...,μk)\begin{cases} \theta_1=\theta_1(\mu_1,\mu_2,...,\mu_k),\\ \theta_2=\theta_2(\mu_1,\mu_2,...,\mu_k),\\ \vdots\\ \theta_k=\theta_k(\mu_1,\mu_2,...,\mu_k)\\ \end{cases}$
以样本矩 $A_i$ 代替上式 $μi,i=1,2,...,k\mu_i,i=1,2,...,k$ ，就以 $θi^=θi(A1,A2,...,Ak),i=1,2,...,k\hat{\theta_i}=\theta_i(A_1,A_2,...,A_k),i=1,2,...,k$ 分别作为 $θi,i=1,2,...,k\theta_i,i=1,2,...,k$ 的估计量，这种估计量称为矩估计量。

（二）最大似然估计法
（1）离散型变量X
设总体X的分布律 $P{X=x}=p(x;θ),θ∈ΘP\{X=x\}=p(x;\theta), \theta\in\Theta$ ， $θ\theta$ 是待估参数， $Θ\Theta$ 是 $θ\theta$ 可能取值的范围。样本X₁, X₂, …, X_n 的联合分布律为 $∏i=1np(xi;θ)\prod\limits_{i=1}^{n}p(x_i;\theta)$ ，x₁, x₂, …, x_n 是相应于X₁, X₂, …, X_n 的样本值，事件 ${X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_n=x_n\}$ 发生的概率为
$L(θ)=L(x1,x2,...,xn;θ)=∏i=1np(xi;θ),θ∈ΘL(\theta)=L(x_1,x_2,...,x_n;\theta)=\prod\limits_{i=1}^{n}p(x_i;\theta), \theta\in\Theta$
称为样本的似然函数。
固定样本观察值x₁, x₂, …, x_n ，在 $θ\theta$ 可能取值的范围 $Θ\Theta$ 内挑选使似然函数达到最大值的参数值 $θ^\hat{\theta}$ ，作为参数 $θ\theta$ 的估计值，即
$L(x1,x2,...,xn;θ^)=max⁡θ∈ΘL(x1,x2,...,xn;θ)L(x_1,x_2,...,x_n;\hat{\theta})=\max\limits_{\theta\in\Theta} L(x_1,x_2,...,x_n;\theta)$
这样的 $θ^\hat{\theta}$ 与样本值x₁, x₂, …, x_n 有关，常记为 $θ^(x1,x2,...,xn)\hat{\theta}(x_1,x_2,...,x_n)$ ，称为参数 $θ\theta$ 的最大似然估计值，相应的 $θ^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)$ 为参数 $θ\theta$ 的最大似然估计量。

（2）连续型变量X
设总体X的概率密度 $f(x;θ),θ∈Θf(x;\theta), \theta\in\Theta$ ， $θ\theta$ 是待估参数， $Θ\Theta$ 是 $θ\theta$ 可能取值的范围。样本X₁, X₂, …, X_n 的联合密度为 $∏i=1nf(xi;θ)\prod\limits_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)$ ，x₁, x₂, …, x_n 是相应于X₁, X₂, …, X_n 的样本值，则随机点(X₁, X₂, …, X_n)落在点(x₁, x₂, …, x_n)的邻域内的概率近似为 $∏i=1nf(xi;θ)dxi\prod\limits_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)dx_i$ ，取 $θ\theta$ 的估计值 $θ^\hat{\theta}$ 使概率 $∏i=1nf(xi;θ)dxi\prod\limits_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)dx_i$ 最大，因子 $∏i=1ndxi\prod\limits_{i=1}^{n}dx_i$ 不随 $θ\theta$ 而变，故只需考虑函数
$L(θ)=L(x1,x2,...,xn;θ)=∏i=1nf(xi;θ)L(\theta)=L(x_1,x_2,...,x_n;\theta)=\prod\limits_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)$
的最大值，上式称为样本的似然函数。若
$L(x1,x2,...,xn;θ^)=max⁡θ∈ΘL(x1,x2,...,xn;θ)L(x_1,x_2,...,x_n;\hat{\theta})=\max\limits_{\theta\in\Theta} L(x_1,x_2,...,x_n;\theta)$
则称 $θ^(x1,x2,...,xn)\hat{\theta}(x_1,x_2,...,x_n)$ 为 $θ\theta$ 的最大似然估计值，相应的 $θ^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)$ 为参数 $θ\theta$ 的最大似然估计量。

通常，通过对对数似然求导来求解参数，即解方程 $ddθln⁡L(θ)=0\dfrac{d}{d\theta}\ln L(\theta)=0$ .
当有多个未知参数时，解对数似然方程组 $∂∂θiln⁡L=0,i=1,2,...,k\dfrac{\partial}{\partial\theta_i}\ln L=0,i=1,2,...,k$ .

二、估计量的评选标准

设X₁, X₂, …, X_n 是总体X的一个样本， $θ∈Θ\theta\in\Theta$ 是待估参数。
（一）无偏性
若估计量 $θ^=θ^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta}=\hat{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)$ 的数学期望 $E(θ^)E(\hat{\theta})$ 存在，且对于任意 $θ∈Θ\theta\in\Theta$ 有 $E(θ^)=θE(\hat{\theta})=\theta$ ，则称 $θ^\hat{\theta}$ 是 $θ\theta$ 的无偏估计量。
估计量取不同样本值的均值等于真实值。
（二）有效性
设 $θ1^=θ1^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta_1}=\hat{\theta_1}(X_1,X_2,...,X_n)$ 与 $θ2^=θ2^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta_2}=\hat{\theta_2}(X_1,X_2,...,X_n)$ 都是 $θ\theta$ 的无偏估计量，若对于任意 $θ∈Θ\theta\in\Theta$ 有 $D(θ1^)⩽D(θ2^)D(\hat{\theta_1})\leqslant D(\hat{\theta_2})$ ，且至少对于某一个 $θ∈Θ\theta\in\Theta$ 上式中的不等号成立，则称 $θ^\hat{\theta}$ 较 $θ\theta$ 有效。
（三）相合性
设 $θ^(X1,X2,...,Xn)\hat{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)$ 为参数 $θ\theta$ 的估计量，若对于任意 $θ∈Θ\theta\in\Theta$ 都满足：对任意 $ε>0\varepsilon>0$ ，有 $lim⁡n→∞P{∣θ^−θ∣<ε}=1\lim\limits_{n\to\infty}P\{|\hat{\theta}-\theta|<\varepsilon\}=1$ ，则称 $θ^\hat{\theta}$ 是 $θ\theta$ 的相合估计量。
随着样本容量的增大，一个估计量的值稳定于待估参数的真值。
相合性是对一个估计量的基本要求。

三、区间估计

置信区间： 设总体X的分布函数 $F(x;θ)F(x;\theta)$ 含有一个未知参数 $θ∈Θ\theta\in\Theta$ ，对于给定值 $α(0<α<1)\alpha(0<\alpha<1)$ ，若由来自X的样本X₁, X₂, …, X_n 确定的两个统计量 $θ‾=θ‾(X1,X2,...,Xn)\underline{\theta}=\underline{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)$ 和 $θ‾=θ‾(X1,X2,...,Xn)(θ‾<θ‾)\overline{\theta}=\overline{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)(\underline{\theta}<\overline{\theta})$ ，对于任意 $θ∈Θ\theta\in\Theta$ 满足
$P{θ‾(X1,X2,...,Xn)<θ<θ‾(X1,X2,...,Xn)}⩾1−α,P\{\underline{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)<\theta<\overline{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)\}\geqslant1-\alpha,$
则称区间 $(θ‾,θ‾)(\underline{\theta},\overline{\theta})$ 是 $θ\theta$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的置信区间， $θ‾\underline{\theta}$ 称为置信下限， $θ‾\overline{\theta}$ 称为置信上限， $1−α1-\alpha$ 称为置信水平。

求置信区间的具体做法：
1.寻求一个样本X₁, X₂, …, X_n 和 $θ\theta$ 的函数 $W=W(X1,X2,...,Xn;θ)W=W(X_1,X_2,...,X_n;\theta)$ ，使得 $W$ 的分布不依赖于 $θ\theta$ 以及其他未知参数，称具有这种性质的函数 $W$ 为枢轴量。

2.对于给定的置信水平 $1−α1-\alpha$ ，定出两个常数a，b使得
$P{a<W(X1,X2,...,Xn;θ)<b}=1−α.P\{a<W(X_1,X_2,...,X_n;\theta)<b\}=1-\alpha.$
若能从 $a<W(X1,X2,...,Xn;θ)<ba<W(X_1,X_2,...,X_n;\theta)<b$ 得到与之等价的 $θ\theta$ 的不等式 $θ‾<θ<θ‾\underline{\theta}<\theta<\overline{\theta}$ ，那么 $(θ‾,θ‾)(\underline{\theta},\overline{\theta})$ 就是 $θ\theta$ 的一个置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的置信区间。

四、正态总体均值与方差的区间估计

（一）单个总体 $N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)$ 的情况
1.均值 $μ\mu$ 的置信区间
（1） $σ2\sigma^2$ 为已知，构造枢轴量 $X‾−μσ/n∼N(0,1)\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ ，按标准正态分布的上 $α\alpha$ 分位点的定义，有
$P{∣X‾−μσ/n∣<zα/2}=1−αP\{|\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}|<z_{\alpha/2}\}=1-\alpha$

$P{X‾−σnzα/2<μ<X‾+σnzα/2}=1−αP\{\overline{X}-\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}<\mu<\overline{X}+\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}\}=1-\alpha$
得到 $μ\mu$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的置信区间为 $(X‾±σnzα/2)(\overline{X}\pm \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2})$

（2） $σ2\sigma^2$ 为未知，将枢轴量 $X‾−μσ/n\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 中的 $σ\sigma$ 替换为其无偏估计 $S$ ，得 $X‾−μS/n∼t(n−1)\dfrac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$ ，有
$P{−tα/2(n−1)<X‾−μS/n<tα/2(n−1)}=1−αP\{-t_{\alpha/2}(n-1)<\dfrac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}<t_{\alpha/2}(n-1)\}=1-\alpha$

$P{X‾−Sntα/2(n−1)<μ<X‾+Sntα/2(n−1)}=1−αP\{\overline{X}-\dfrac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)<\mu<\overline{X}+\dfrac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)\}=1-\alpha$
得到 $μ\mu$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的置信区间为 $(X‾±Sntα/2(n−1))(\overline{X}\pm \dfrac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1))$

2.方差 $σ2\sigma^2$ 的置信区间（ $μ\mu$ 未知）
构造枢轴量 $(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$ ，有
$P{χ1−α/22(n−1)<(n−1)S2σ2<χα/22(n−1)}=1−αP\{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)<\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}<\chi_{\alpha/2}^2(n-1)\}=1-\alpha$

$P{(n−1)S2χα/22(n−1)<σ2<(n−1)S2χ1−α/22(n−1)}=1−αP\{\dfrac{(n-1)S^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)}<\sigma^2<\dfrac{(n-1)S^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)}\}=1-\alpha$
得到 $σ2\sigma^2$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的置信区间为 $((n−1)S2χα/22(n−1),(n−1)S2χ1−α/22(n−1))(\dfrac{(n-1)S^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)}, \dfrac{(n-1)S^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)})$

（二）两个总体 $N(μ1,σ12),N(μ2,σ22)N(\mu_1,\sigma_1^2), N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 的情况
1.两个总体均值差 $μ1−μ2\mu_1-\mu_2$ 的置信区间
（1） $σ12,σ22\sigma_1^2,\sigma_2^2$ 均为已知。 $X‾,Y‾\overline{X},\overline{Y}$ 分别为 $μ1,μ2\mu_1,\mu_2$ 的无偏估计，故 $X‾−Y‾\overline{X}-\overline{Y}$ 是 $μ1−μ2\mu_1-\mu_2$ 的无偏估计。由 $X‾,Y‾\overline{X},\overline{Y}$ 的独立性以及 $X‾∼(μ1,σ12/n1),Y‾∼(μ2,σ22/n2)\overline{X}\sim(\mu_1,\sigma_1^2/n_1),\overline{Y}\sim(\mu_2,\sigma_2^2/n_2)$ 得
$X‾−Y‾∼N(μ1−μ2,σ12n1+σ22n2)\overline{X}-\overline{Y}\sim N(\mu_1-\mu_2,\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2})$

$(X‾−Y‾)−(μ1−μ2)σ12n1+σ22n2∼N(0,1)\dfrac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$
得到 $μ1−μ2\mu_1-\mu_2$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的置信区间为 $(X‾−Y‾±zα/2σ12n1+σ22n2)(\overline{X}-\overline{Y}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}})$

（2） $σ12=σ22=σ2\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$ ，但 $σ2\sigma^2$ 为未知。构造枢轴量
$(X‾−Y‾)−(μ1−μ2)Sw1n1+1n2∼t(n1+n2−2)\dfrac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$
得到 $μ1−μ2\mu_1-\mu_2$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的置信区间为
$(X‾−Y‾±tα/2(n1+n2−2)Sw1n1+1n2)(\overline{X}-\overline{Y}\pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}})$
此处 $Sw2=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2,Sw=Sw2.S_w^2=\dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}, S_w=\sqrt{S_w^2}.$

2.两个总体方差比 $σ12/σ22\sigma_1^2/\sigma_2^2$ 的置信区间（ $μ1,μ2\mu_1,\mu_2$ 均为未知）
构造枢轴量 $S12/S22σ12/σ22∼F(n1−1,n2−1)\dfrac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$ 得
$P{F1−α/2(n1−1,n2−1)<S12/S22σ12/σ22<Fα/2(n1−1,n2−1)}=1−αP\{F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)<\dfrac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}<F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)\}=1-\alpha$

$P{S12S221Fα/2(n1−1,n2−1)<σ12σ22<S12S221F1−α/2(n1−1,n2−1)}=1−αP\{\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\dfrac{1}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}<\dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}<\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\dfrac{1}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}\}=1-\alpha$
得到 $σ12/σ22\sigma_1^2/\sigma_2^2$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的置信区间为
$(S12S221Fα/2(n1−1,n2−1),S12S221F1−α/2(n1−1,n2−1))(\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\dfrac{1}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)},\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\dfrac{1}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)})$

五、(0-1)分布参数的区间估计

(0-1)分布的均值和方差分别为 $μ=p,σ2=p(1−p)\mu=p,\sigma^2=p(1-p)$ ，X₁, X₂, …, X_n 是一个样本，当样本容量n较大时，由中心极限定理知
$∑i=1nXi−npnp(1−p)=nX‾−npnp(1−p)近似地~N(0,1)\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i-np}{\sqrt{np(1-p)}}=\dfrac{n\overline{X}-np}{\sqrt{np(1-p)}}\utilde{\footnotesize 近似地}N(0,1)$ ，于是有

$P{−zα/2<nX‾−npnp(1−p)<zα/2}≈1−αP\{-z_{\alpha/2}<\dfrac{n\overline{X}-np}{\sqrt{np(1-p)}}<z_{\alpha/2}\}\approx1-\alpha$

而不等式 $−zα/2<nX‾−npnp(1−p)<zα/2-z_{\alpha/2}<\dfrac{n\overline{X}-np}{\sqrt{np(1-p)}}<z_{\alpha/2}$ 等价于

$(n+zα/22)p2−(2nX‾+zα/22)p+nX‾2<0(n+z^2_{\alpha/2})p^2-(2n\overline{X}+z^2_{\alpha/2})p+n\overline{X}^2<0$
记
$p1=12a(−b−b2−4ac),p2=12a(−b+b2−4ac),p_1=\dfrac{1}{2a}(-b-\sqrt{b^2-4ac}),p_2=\dfrac{1}{2a}(-b+\sqrt{b^2-4ac}),$
此处 $a=n+zα/22,b=−(2nX‾+zα/22),c=nX‾2.a=n+z^2_{\alpha/2},b=-(2n\overline{X}+z^2_{\alpha/2}),c=n\overline{X}^2.$ 于是 $p$ 的一个近似置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的置信区间为 $p_1,p_2)$ 。

六、单侧置信区间

对于给定值 $α(0<α<1)\alpha(0<\alpha<1)$ ，若由样本X₁, X₂, …, X_n 确定的统计量 $θ‾=θ‾(X1,X2,...,Xn)\underline{\theta}=\underline{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)$ ，对于任意 $θ∈Θ\theta\in\Theta$ 满足
$P{θ>θ‾}⩾1−α,P\{\theta>\underline{\theta}\}\geqslant1-\alpha,$
称随机区间 $(θ‾,∞)(\underline{\theta},\infty)$ 是 $θ\theta$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的单侧置信区间， $θ‾\underline{\theta}$ 称为 $θ\theta$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的单侧置信下限。
又若统计量 $θ‾=θ‾(X1,X2,...,Xn)\overline{\theta}=\overline{\theta}(X_1,X_2,...,X_n)$ 对于任意 $θ∈Θ\theta\in\Theta$ 满足
$P{θ<θ‾}⩾1−α,P\{\theta<\overline{\theta}\}\geqslant1-\alpha,$
称随机区间 $(−∞,θ‾)(-\infty,\overline{\theta})$ 是 $θ\theta$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的单侧置信区间， $θ‾\overline{\theta}$ 称为 $θ\theta$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的单侧置信上限。

例如正态总体X，若均值 $μ\mu$ ，方差 $σ2\sigma^2$ 均未知，设X₁, X₂, …, X_n 是一个样本，由 $X‾−μS/n∼t(n−1)\dfrac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$ 有

$P{X‾−μS/n<tα(n−1)}=1−αP\{\dfrac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}<t_{\alpha}(n-1)\}=1-\alpha$ ，即
$P{μ>X‾−Sntα(n−1)}=1−αP\{\mu>\overline{X}-\dfrac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}(n-1)\}=1-\alpha$
于是得到 $μ\mu$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的单侧置信区间为 $(X‾−Sntα(n−1),∞)(\overline{X}- \dfrac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}(n-1),\infty)$
$μ\mu$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的单侧置信下限为 $μ‾=X‾−Sntα(n−1)\underline{\mu}=\overline{X}- \dfrac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}(n-1)$

又如 $(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$ ，有
$P{(n−1)S2σ2>χ1−α2(n−1)}=1−αP\{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}>\chi_{1-\alpha}^2(n-1)\}=1-\alpha$ ，即
$P{σ2<(n−1)S2χ1−α2(n−1)}=1−αP\{\sigma^2<\dfrac{(n-1)S^2}{\chi_{1-\alpha}^2(n-1)}\}=1-\alpha$
于是得到 $σ2\sigma^2$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的单侧置信区间为
$\dfrac{(n-1)S^2}{\chi_{1-\alpha}^2(n-1)})$
$σ2\sigma^2$ 的置信水平为 $1−α1-\alpha$ 的单侧置信上限为 $σ2‾=(n−1)S2χ1−α2(n−1)\overline{\sigma^2}=\dfrac{(n-1)S^2}{\chi_{1-\alpha}^2(n-1)}$