概率论小结1

本文介绍了概率论的基本概念,包括随机试验、样本空间、随机事件及其关系与运算,还探讨了条件概率、独立性以及全概率和贝叶斯公式,是理解概率论的重要基础知识。

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概率论的基本概念

一、随机试验

具备以下三个特点的试验称为随机试验:
1、可以在相同的条件下重复地进行;
2、每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果
3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

二、样本空间

将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S。样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点。
如抛一颗骰子,观察出现的点数。集合{1,2,3,4,5,6}就是这一随机试验的样本空间,样本点位其中的元素。

三、随机事件

试验E的样本空间S的子集为E的随机事件,简称事件。由一个样本点组成的单点集,称为基本事件。在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生。全集S称为必然事件,空集∅\varnothing称为不可能事件。

四、事件间的关系与事件的运算

事件是一个集合。
1.若A⊂\subsetB,则称事件B包含事件A,事件A发生必然导致事件B发生。
若A⊂\subsetB且B⊂\subsetA,即A=B。

2.事件A∪\cupB={x|x∈\isinA或x∈\isinB}称为事件A、B的和事件。当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件A∪\cupB发生。

3.事件A∩\capB={x|x∈\isinA且x∈\isinB}称为事件A、B的积事件。当且仅当A,B同时发生时,事件A∩\capB发生。A∩\capB也记作AB。

4.事件A-B={x|x∈\isinA且x∉\notin/B}称为事件A、B的差事件。当且仅当A发生,B不发生时,事件A-B发生。

5.若A∩\capB=∅\varnothing 则称事件A与B互不相容,或互斥。事件A与事件B不能同时发生。(基本事件是两两互斥的)

6.若A∪\cupB=S(样本空间),且A∩\capB=∅\varnothing,则称事件A、B互为逆事件,或互为对立事件。即每次试验,A、B中必有一个发生且仅有一个发生。

注意: 对立一定互斥,但互斥不一定对立。

五、概率的一些性质

1.非负性:对于每一事件A,有P(A)⩾\geqslant 0
2.规范性:对于必然事件S,有P(S)=1
3.可列可加性:设A1,A2,…是两两互不相容的事件,有P(A1∪\cupA2∪\cup…)=P(A1)+P(A2)+…

其他的一些性质:
1.P(∅\varnothing)=0
2.若A1,A2,…,An是两两互不相容的事件,则有P(A1∪\cupA2∪\cup∪\cupAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
3.若A⊂\subsetB,则有P(B-A)=P(B)-P(A); P(B)⩾\geqslantP(A)
4.P(A)⩽\leqslant 1
5.P(A‾\overline{\text{A}}A)=1-P(A)
6.对于任意两个事件A,B,有P(A∪\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)

概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的

六、条件概率

定义: 设事件A,B是两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=P(AB)P(A)\frac{P(AB)}{P(A)}P(A)P(AB)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
性质:
1.非负性:对于每一事件B,有P(B|A)⩾\geqslant 0
2.规范性:对于必然事件S,有P(S|A)=1
3.可列可加性:设B1,B2,…,是两两互不相容的事件,则有
P(⋃i=1∞\bigcup\limits_{i=1}^\inftyi=1 Bi|A)=∑i=1∞\sum\limits_{i=1}^\inftyi=1 P(Bi|A)

其他的一些性质同上概率的一些性质。如
P(B1∪\cupB2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A)

乘法定理: 设P(A)>0,则有P(AB)=P(B|A)P(A)

对于多个事件,如A,B,C为事件,且P(AB)>0,则有
P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)。(由假设P(AB)>0可推得P(A)⩾\geqslantP(AB)>0)

更一般的,设A1,A2,…,An为n个事件,n⩾\geqslant 2,且P(A1A2…An)>0,则有
P(A1A2…An)=P(An|A1A2…An-1)P(An-1|A1A2…An-2)…P(A2|A1)P(A1)

全概率公式和贝叶斯公式:
1.样本空间的划分: 设S为试验E的样本空间,B1,B2,…,Bn为E的一组事件。若(i)BiBj=∅\varnothing,i≠=\not≠j ,i,j=1,2…n;(ii)B1∪\cupB2∪\cup∪\cupBn=S。称B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分。

2.全概率公式:设试验E的样本空间为S,A为E的事件,B1,B2,…,Bn为S的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)=∑i=1n\sum\limits_{i=1}^ni=1nP(A|Bi)P(Bi)。(把每一部分的A加起来就是整个A)

3.贝叶斯公式:设试验E的样本空间为S,A为E的事件,B1,B2,…,Bn为S的一个划分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则P(Bi|A)=P(A∣Bi)P(Bi)∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi)\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)}i=1nP(ABi)P(Bi)P(ABi)P(Bi)
其中P(Bi)一般称为先验概率;P(Bi|A)一般称为后验概率(在得到A信息后,对Bi的概率加以修正)。

七、独立性

定义: 设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立。
若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不相容(P(AB)=0)不能同时成立。
定理1: 设A,B是两事件,且P(A)>0. 若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B). 反之亦然。
定理2: 若事件A与B相互独立,则A与B‾\overline{\text{B}}BA‾\overline{\text{A}}A与B,A‾\overline{\text{A}}AB‾\overline{\text{B}}B也相互独立。

定义: 设A,B,C是三个事件,如果满足等式:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C ),P(AC)=P(A)P(C ),P(ABC)=P(A)P(B)P(C ),则称事件A,B,C相互独立。
一般,设A1,A2,…,An为n(n⩾\geqslant 2)个事件,如果对于其中任意2个,任意3个,…,任意n个事件的积事件的概率,都等于各事件概率之积,则称A1,A2,…,An相互独立。
推论:
1.若事件A1,A2,…,An(n⩾\geqslant 2)相互独立,则其中任意k(n⩾\geqslant k⩾\geqslant 2)个事件也是相互独立的。
2.若n个事件A1,A2,…,An(n⩾\geqslant 2)相互独立,则将A1,A2,…,An中任意多个事件换成它们各自的对立事件,所得的n个事件仍相互独立。

两个事件相互独立的含义是它们中一个已发生,不影响另一个发生的概率

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