概率论小结3

最新推荐文章于 2024-10-09 19:25:35 发布

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这篇博客详细介绍了二维随机变量的相关概念，包括二维随机变量的定义、联合分布、边缘分布、条件分布以及相互独立随机变量的性质。同时，讲解了二维随机变量函数的分布，如和的分布、乘积的分布以及最大值和最小值的分布。内容涵盖离散型和连续型随机变量，以及相互独立随机变量的卷积公式和正态分布的线性组合特性。

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二维随机变量及其分布

一、二维随机变量

设随机试验的样本空间为S={e}。设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在样本空间S上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量或二维随机变量。二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，还依赖于这两个随机变量的相互关系。

二维离散型随机变量
定义：如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量。

二维连续型随机变量（见二、联合分布）

二、联合分布

1.定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数：F(x,y)=P{(X $⩽\leqslant$ x) $∩\cap$ (Y $⩽\leqslant$ y)} $=记成\xlongequal{记成}$ P{X $⩽\leqslant$ x,Y $⩽\leqslant$ y}. 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

2.性质：
a. F(x,y)是变量x，y的不减函数，即对于任意固定的y，当x₂>x₁时F(x₂,y) $⩾\geqslant$ F(x₁,y)；对于任意固定的x亦相同。

b. 0 $⩽\leqslant$ F(x,y) $⩽\leqslant$ 1，且对于任意固定的y，F(- $∞\infty$ ,y)=0；对于任意固定的x，F(x,- $∞\infty$ )=0；F(- $∞\infty$ ,- $∞\infty$ )=0；F( $∞\infty$ , $∞\infty$ )=1

c. F(x+0,y)=F(x,y), F(x,y+0)=F(x,y)，即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续。

d. 对于任意(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，x₁<x₂，y₁<y₂，下述不等式成立
F(x₂,y₂)-F(x₂,y₁)-F(x₁,y₂)+F(x₁,y₁) $⩾\geqslant$ 0.（(x₁,y₁)，(x₂,y₂)分别是矩形的右上角和左下角坐标）

3.联合分布律
定义：称P{X=x_i,Y=y_i}=p_ij, i, j=1,2,…为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或称为随机变量X和Y的联合分布律。

4.二维连续型随机变量
定义：对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，如果存在非负可积函数f(x,y)使对于任意x,y有F(x,y)= $∫−∞y∫−∞xf(u,v)dudv\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x} f(u,v)dudv$ , 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。

概率密度f(x,y)具有以下性质：
a. f(x,y) $⩾\geqslant$ 0

b. $∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy=F(∞,∞)=1\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dxdy=F(\infty,\infty)=1$

c. 设G是xOy平面上的区域，点(X,Y)落在G内的概率为P{(X,Y) $∈\in$ G}= $∬Gf(x,y)dxdy\iint\limits_{G}f(x,y)dxdy$

d. 若f(x,y)在点(x,y)连续，则有 $∂2F(x,y)∂x∂y=f(x,y)\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial{x}\partial{y}}=f(x,y)$

三、边缘分布

1.定义：二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分布函数F(x,y)。而X，Y都是随机变量，各自也有分布函数，分别记为F_x(x), F_Y(y)，依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。F_x(x)=F(x, $∞\infty$ ), F_Y(y)=F( $∞\infty$ ,y)。

2.边缘分布律
对于离散型随机变量，
$pi⋅p_{i\cdot}$ = $∑j=1∞pij\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij}$ =P{X=x_i}, i=1,2,…
$p⋅jp_{\cdot{j}}$ = $∑i=1∞pij\sum\limits_{i=1}^{\infty}p_{ij}$ =P{Y=y_j}, j=1,2,…
分别称 $pi⋅p_{i\cdot}$ (i=1,2,…)和 $p⋅jp_{\cdot{j}}$ (j=1,2,…)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。

3.边缘概率密度
X，Y是连续型随机变量，有
f_x(x)= $∫−∞∞f(x,y)dy\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy$
f_Y(y)= $∫−∞∞f(x,y)dx\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx$
分别称f_x(x)，f_Y(y)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度。
边缘分布函数可知为
F_x(x)=F(x, $∞\infty$ )= $∫−∞x[∫−∞∞f(x,y)dy]dx\int_{-\infty}^{x}[\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy]dx$
F_Y(y)=F( $∞\infty$ ,y)= $∫−∞y[∫−∞∞f(x,y)dx]dy\int_{-\infty}^{y}[\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx]dy$

四、条件分布

1.条件分布律
设(X,Y)是二维离散型随机变量，
对于固定的j，若P{Y=y_j}>0，则称P{X=x_i|Y=y_j}= $P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}$ = $pijp⋅j\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$ ,i=1,2,… 为在Y=y_j条件下随机变量X的条件分布律。
同样，对于固定的i，若P{X=x_i}>0，则称P{Y=y_j|X=x_i}= $P{X=xi,Y=yj}P{X=xi}\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}}$ = $pijpi⋅\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}$ ,i=1,2,… 为在X=x_i条件下随机变量Y的条件分布律。

2.条件概率密度
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为f_Y(y)。若对于固定的y，f_Y(y)>0，则称 $f(x,y)fY(y)\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ 为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为 $fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ .
称 $∫−∞xfX∣Y(x∣y)dx=∫−∞xf(x,y)fY(y)dx\int_{-\infty}^{x}f_{X|Y}(x|y)dx=\int_{-\infty}^{x}\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}dx$ 为在Y=y的条件下X的条件分布函数，记为P{X $⩽\leqslant$ x|Y=y}或F_X|Y(x|y)，即F_X|Y(x|y)=P{X $⩽\leqslant$ x|Y=y}= $∫−∞xf(x,y)fY(y)dx\int_{-\infty}^{x}\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}dx$
类似的， $fY∣X(y∣x)=f(x,y)fX(x)f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$ ，F_Y|X(y|x)= $∫−∞yf(x,y)fX(x)dy\int_{-\infty}^{y}\frac{f(x,y)}{f_X(x)}dy$

五、相互独立的随机变量

设F(x,y)及F_X(x), F_Y(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x，y有P{X $⩽\leqslant$ x,Y $⩽\leqslant$ y}=P{X $⩽\leqslant$ x}P{Y $⩽\leqslant$ y}即F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)，则称随机变量X和Y是相互独立的。

设(X,Y)是连续型随机变量，f(x,y), f_X(x), f_Y(y)分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的条件等价于f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)

设(X,Y)是离散型随机变量，X和Y相互独立的条件等价于对于(X,Y)的所有可能取值(x_i,y_j)有P{X=x_i, Y=y_j}=P{X=x_i}P{Y=y_j}

对于n维随机变量：
若对于所有的x₁, x₂, …, x_n有F(x₁, x₂, …, x_n)=F_X₁(x₁)F_X₂(x₂)…F_X_n(x_n)，则称X₁, X₂, …, X_n是相互独立的。（区别事件相互独立）
若对于所有的x₁, x₂, …, x_m；y₁, y₂, …, y_n有F(x₁, x₂, …, x_m, y₁, y₂, …, y_n)=F₁(x₁, x₂, …, x_m)F₂(y₁, y₂, …, y_n)，则称随机变量(X₁, X₂, …, X_m)和(Y₁, Y₂, …, Y_n)是相互独立的。

定理：(X₁, X₂, …, X_m)和(Y₁, Y₂, …, Y_n)相互独立，则X_i(i=1,2,…,m)和Y_j(j=1,2,…,n)相互独立。又若h，g是连续函数，则h(X₁, X₂, …, X_m)和g(Y₁, Y₂, …, Y_n)相互独立。

六、两个随机变量的函数的分布

1、Z=X+Y的分布
Z=X+Y的概率密度函数如下：
$fX+Y(z)=∫−∞∞f(z−y,y)dyf_{X+Y}(z)=\int_{-\infin}^{\infin}f(z-y,y)dy$ 或 $fX+Y(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dxf_{X+Y}(z)=\int_{-\infin}^{\infin}f(x,z-x)dx$ .
若X和Y相互独立，则 $fX+Y(z)=∫−∞∞fX(z−y)f(y)dyf_{X+Y}(z)=\int_{-\infin}^{\infin}f_X(z-y)f(y)dy$ 和 $fX+Y(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dxf_{X+Y}(z)=\int_{-\infin}^{\infin}f_X(x)f_Y(z-x)dx$ ，这两个公式称为 $f_X$ 和 $f_Y$ 的卷积公式。

若X_i $∼\sim$ N( $μi\mu_i$ , $σi2\sigma_i^2$ )(i=1,2,…n)，且它们相互独立，则它们的和Z=X₁+X₂+…+X_n仍然服从正态分布，且有Z $∼\sim$ N( $μ1\mu_1$ + $μ2\mu_2$ +… $μn\mu_n$ , $σ12\sigma_1^2$ + $σ22\sigma_2^2$ +…+ $σn2\sigma_n^2$ )。更一般地，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。

2、Z= $YX\frac{Y}{X}$ 的分布、Z=XY的分布
Z= $YX\frac{Y}{X}$ 和Z=XY的概率密度函数如下：
$fY/X(z)=∫−∞∞∣x∣f(x,xz)dxf_{Y/X}(z)=\int_{-\infin}^{\infin}|x|f(x,xz)dx$
$fXY(z)=∫−∞∞1∣x∣f(x,zx)dxf_{XY}(z)=\int_{-\infin}^{\infin}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx$ .
若X和Y相互独立，则
$fY/X(z)=∫−∞∞∣x∣fx(x)fY(xz)dxf_{Y/X}(z)=\int_{-\infin}^{\infin}|x|f_x(x)f_Y(xz)dx$
$fXY(z)=∫−∞∞1∣x∣fX(x)fY(zx)dxf_{XY}(z)=\int_{-\infin}^{\infin}\frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y(\frac{z}{x})dx$ .

3、M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布(这里X和Y相互独立)
M=max{X,Y}的分布函数如下：
F_max(z)=P{M $⩽\leqslant$ z}=P{X $⩽\leqslant$ z,Y $⩽\leqslant$ z}(M不大于z等价于X和Y都不大于z)=P{X $⩽\leqslant$ z}P{Y $⩽\leqslant$ z}=F_X(z)F_Y(z)

N=min{X,Y}的分布函数如下：
F_min(z)=P{N $⩽\leqslant$ z}=1-P{N $>$ z}=1-P{X $>$ z,Y $>$ z}=1-P{X $>$ z}P{Y $>$ z}=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]

对于n个相互独立的随机变量：M=max{X₁,X₂,…,X_n}及N=min{X₁,X₂,…,X_n}的分布函数分别如下：
F_max(z)=F_X1(z)F_X2(z)…F_Xn(z)
F_min(z)=1-[1-F_X1(z)][1-F_X2(z)]…[1-F_Xn(z)]

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