第9章 多元函数微分法及其应用

本文详细介绍了多元函数的概念,包括多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分以及多元复合函数的求导法则。此外,还探讨了隐函数的求导公式,展示了多元函数微分学在几何上的应用,如空间曲线的切线与法平面,以及方向导数和梯度的概念。最后,文章提到了多元函数的极值问题及其求解方法,包括拉格朗日乘数法。

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第一节 多元函数的基本概念

  1. 平面点集 n维空间
    • :内点、外点、边界点、边界、聚点
    • 开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有界集、无界集
  2. 多元函数概念
    • 12f
      z=f(x,y),(x,y)
      z=f(),

      xyz
  3. 多元函数的极限
    • 2:设二元函数f()=f(x,y)的定义域为0(x0,y0)的聚点。如果存在常数,对于任意给定的正数 ε ,总存在正数 δ ,使得当点(x,y)(0,δ)
      |f()|=|f(x,y)|<ε
      成立,那么就称常数为函数f(x,y)(x,y)(x0,y0)时的极限,记作
      lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)=f(x,y)((x,y)(x0,y0))
      也记作
      lim0f()=f()(0)
      二元函数的极限叫做二重极限
  4. 多元函数的连续性
    • 3: 设二元函数f()=f(x,y)的定义域为0(x0,y0) 的聚点,且0。如果
      lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)
      则称函数f(x,y) 上的连续函数。
    • 1() 在有界闭区域 上的多元连续函数,必定在 上有界,切能取得它的最大值和最小值。
    • 2() 在有界闭区域 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
    • 3() 在有界闭区域 上的多元连续函数必定在 上一致连续。

第二节 偏导数

  1. 偏导数的定义及其计算法
    • :设函数 z=f(x,y) 在点 (x0,y0) 的某一邻域内有定义,当 y 固定在 y0xx0 处有增量 Δx 时,相应的函数有增量
      f(x0+Δx,y0)f(x0,y0)
      如果
      limΔx0f(x0+Δx,y0)f(x0,y0)Δx
      存在,则称此极限为函数 z=f(x,y) 在点 (x0,y0) 处对 x 的偏导数,记作
      zxx=x0,y=y0,fxx=x0,y=y0,zxx=x0,y=y0fx(x0,y0)
      如果函数 z=f(x,y) 在区域 内每一点 (x,y) 处对 x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是 x,y 的函数,它就称为函数 z=f(x,y) 对自变量 x 的偏导函数,记作
      zx,fx,zxfx(x,y)
  2. 高阶偏导数
    • 如果函数 z=f(x,y) 的两个二阶混合偏导数 2zyx2zxy 在区域 内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。(二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。)

第三节 全微分

  1. 全微分的定义
    • 设函数 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的某邻域内有定义,如果函数在点 (x,y) 的全增量
      Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)
      可表示为
      Δz=Δx+Δy+o(ρ)
      其中 , 不依赖于 ΔxΔy 而仅与 x,y 有关,ρ=Δx2+Δy2 ,则称函数 z=f(x,y) 在点 x,y 可微分,而 Δx+Δy 称为函数 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的全微分,记作 dz,即
      dz=Δx+Δy
      如果函数在区域 内各点处都可微分,那么称这函数在 内可微分。
    • 1(
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