30、鲁丁 - 夏皮罗和与帕里赫共线态射相关研究

鲁丁 - 夏皮罗和与帕里赫共线态射相关研究

1 鲁丁 - 夏皮罗和的不等式研究

1.1 基本定理

假设 (n \in [2^{2k}, 2^{2k + 1}))，则 (s(n) \leq 2^{k + 1})，并且在这个范围内等式成立当且仅当 (n = 2^{2k + 1} - 1 - \sum_{0\leq r < k} e_r2^{2r + 1})，其中 (e_r \in {0, 1})。

同时，(s(n)) 和 (t(n)) 是 (4, 2)-同步的，且二者均无界。存在常数 (c’) 和 (c’‘) 使得 (c’ \leq \frac{s(n)}{\sqrt{n}} \leq c’‘)，对于 (t(n)) 也有类似不等式。

1.2 布利哈特 - 莫顿定理

对于 (n \geq 1)，有：
[
\begin{cases}
\sqrt{\frac{3n}{5}} \leq s(n) \leq \sqrt{6n}\
0 \leq t(n) \leq \sqrt{3n}
\end{cases}
]

1.3 证明中的困难与解决方法

直接将上述结论转化为 Walnut 代码进行证明存在两个困难：
- 自动机无法计算平方或平方根。
- 同步自动机使用以 4 为基数表示的 (n)，但 (s(n)) 和 (t(n)) 以 2 为基数表示，Walnut 不能直接比较不同基数表示的任意整数。

为解决这些问题，定义了“伪平方”函数 (m(n) = [(n)_2]_4)，即把 (n) 的二进制展开解释为以