38、无边界因子数量的研究

无边界因子数量的研究

1. 引言

在计算机科学领域，$k$-自动序列的某些因子是研究的重点。简单来说，若存在一个有限自动机，当输入以$k$为基数表示的$n$时，能到达一个输出为$a_n$的状态，那么在有限字母表$\Delta$上的序列$x = a_0a_1a_2 \cdots$就被称为$k$-自动序列。这种序列因Cobham的著名论文而受到广泛关注。

更精确地，设$k$是一个大于等于$2$的整数，$\Sigma_k = {0, 1, \cdots, k - 1}$。一个带输出的确定性有限自动机（DFAO）$M = (Q, \Sigma_k, \Delta, \delta, q_0, \tau)$，其转移函数为$\delta : Q \times \Sigma_k \to Q$，输出函数为$\tau : Q \to \Delta$。若$(n) k$表示$n$的规范$k$进制表示（无前导零且最高位在前），当对于所有$n \geq 0$都有$a_n = \tau(\delta(q_0, (n)_k))$时，就称$M$生成序列$(a_n) {n\geq0}$。

典型的$k$-自动序列是图厄 - 摩尔斯序列$t = t_0t_1t_2 \cdots = 01101001 \cdots$，它由$t_0 = 0$以及$t_{2n} = t_n$，$t_{2n + 1} = 1 - t_n$（$n \geq 0$）定义，可由特定的DFAO生成。

序列$x$的因子是形如$a_i \cdots a_j$的有限字。若一个有限字$w$存在一个非空且不等于$w$的有限字$x$，使得$x$既是$w$的前缀又是后缀，那么$w$就是有边界的，否则为无边界的。近年来，无边