25、自动序列与无限字群扩张中的字问题研究

自动序列与无限字群扩张中的字问题研究

自动序列相关结论

在自动序列的研究中，自动机的显式构造对所考虑性质的最小示例或反例存在一定的界限约束。这些界限本质上由指数塔给出，其高度与交替量词的数量相关。例如：
- 定理 19 ：假设 (x) 和 (y) 是由状态数最多为 (q) 的自动机生成的 (k) - 自动序列。若 (x) 的因子集与 (y) 的因子集不同，则存在一个长度至多为 (2^{2^{2^{2^{q^2}}}}) 的因子，它出现在一个字中但不出现在另一个字中。

同时，之前关于鲁丁 - 夏皮罗序列轨道闭包中字典序最小字描述的未解决问题，最近已被解决。

无限字群扩张中的字问题背景

非阿基米德字作为一种新型的无限字被引入，其长度函数取值于多项式加法群 (Z[t]) 而非传统的自然数集 (N)，这赋予了它许多新的性质。非阿基米德字可用于解决几何和算法群论中的一些算法问题，还与自由群的一阶理论（塔斯基问题）存在联系。

这里提供了一种通用方法，使用离散有序阿贝尔群上的无限字作为工具来研究任意群 (G) 的某些扩张。核心对象是群 (E(A, G))，它由一个非终止但合流的重写系统定义。群 (G) 以及 (G) 的一些自然 HNN 扩张都能嵌入到 (E(A, G)) 中，这使得研究其算法性质变得十分有趣。

预备知识

1. 重写系统 ：重写技术是证明某些构造具有预期性质的便利工具。常见的重写系统性质包括（强）合流性、终止性和丘奇 - 罗斯性质等。例如，设 (\Sigma) 是一个集合，(\Sigma^{-1})