13、斯特姆词与ω-自动机接受词的循环、频率及可解性研究

斯特姆词与ω-自动机接受词的循环、频率及可解性研究

斯特姆词的循环与频率特性

斯特姆词在一维符号动力学中具有重要地位，其循环和频率特性是研究的重点。

首先，对于β值的讨论。若β < 0，当n足够大时，$e_x(n) \geq \frac{c}{n(\log n)^{\beta}} \geq \frac{1}{n}$，这意味着序列x最终是周期的；若β > 1，函数F是一个收敛于0的负函数，无法通过相关式子得出结论，所以不考虑$\frac{1}{n^{\beta}}$（β > 1）形式的函数。

斯特姆词的基本定义与性质

斯特姆词有两种等价定义：
- 对于每个正整数n，它是恰好有n + 1个长度为n的因子的（单边）无限词。
- 它是单位圆（一维环面$T = R/Z$）上无理平移$R_{\alpha}$（$R_{\alpha} : R/Z \to R/Z, x \to x + \alpha \mod 1$）关于两区间划分的符号编码。具体来说，若存在$\alpha \in (0, 1), \alpha \notin Q$（称为角度）和$s \in R$，使得对于所有$n \in N$，$x_n = i \Leftrightarrow R_{\alpha}^n(s) = n\alpha + s \in I_i (\mod 1)$，其中$I_0$和$I_1$有两种划分情况：$I_0 = [0, 1 - \alpha), I_1 = [1 - \alpha, 1)$或$I_0 = (0, 1 - \alpha], I_1 = (1 - \alpha, 1]$，则无限词$x = (x_n)_{n \in N} \in {0, 1}^N$