2、无限词的最小复杂度与交替基计数系统研究

无限词的最小复杂度与交替基计数系统研究

无限词相关猜想与复杂度研究

1. Nivat 猜想
   • 对于字母表 (A) 上的无限二维词 (w)（即 (w\in A^{Z^2})），若存在 (n,m\in N) 使得不同的 (n\times m) 模式数量至多为 (nm)，则词 (w) 在某个方向上是周期的。这里“在某个方向上周期”指存在 (t\in Z^2)，对于任意 (z\in Z^2)，位置 (z) 和 (z + t) 上的字母相同。目前该猜想仍未解决，众多学者为此付出了诸多努力。
2. 阿贝尔复杂度
   • 定义 ：两个有限词 (u) 和 (v) 若互为变位词（如 “twelveplusone” 和 “elevenplustwo”），则它们是阿贝尔等价的。无限词 (w) 的阿贝尔复杂度是一个函数，用于计算长度为 (n) 的非阿贝尔等价因子的数量。例如，对于最终常数词 (w = 21222222…)，当 (n\geq1) 时，长度为 (n) 的非阿贝尔等价因子恰好有两个：一个包含 (1)，另一个仅由字母 (2) 组成。
   • 斯特姆词的阿贝尔复杂度 ：一个词是斯特姆词当且仅当它的阿贝尔复杂度对于所有长度 (n\geq1) 都为常数 (2)，并且其字母频率（存在的话）是有理独立的。这是非周期词的最小阿贝尔复杂度，因为若无限词 (w) 中所有长度为 (n) 的因子都是阿贝尔等价的，则 (w) 以 (n) 为周期。