19、康多塞陪审团定理在聚类共识中的拓展

康多塞陪审团定理在聚类共识中的拓展

1. 引言

在聚类分析中，如何从多个样本分区中得出可靠的共识分区是一个关键问题。康多塞陪审团定理为解决这一问题提供了理论基础，该定理指出，当个体投票者独立且有能力时，多数投票往往是正确的。本文将康多塞陪审团定理拓展到分区空间，旨在为聚类共识提供理论支持。

2. 一般设置

• 设 $S_n = (X_1, \ldots, X_n)$ 是从概率分布 $Q$ 中独立同分布抽取的 $n$ 个硬分区 $X_i \in P^+$ 的样本。
• 每个样本分区 $X_i$ 对给定数据点 $z \in Z$ 进行投票，正确投票的概率为 $p_i(z)$。
• 目标是通过多数投票对数据点 $z$ 做出最终决策。

3. 投票

• 协议函数 ：分区 $X$ 的表示 $X$ 的协议函数 $k_X : Z \to [0, 1]$ 定义为 $k_X(z_j) = \langle x_{:j}, x^ {:j} \rangle$，其中 $x {:j}$ 和 $x^ _{:j}$ 分别是表示 $X$ 和 $X^*$ 的第 $j$ 列。
• 投票定义 ：分区 $X$ 的表示 $X$ 对数据点 $z$ 的投票定义为 $V_X(z) = I{k_X(z) > 0.5}$，其中 $I{b}$ 是指示函数。
• 分区投票 ：分区 $X$ 对数据点 $z$ 的投票 $V