33、随机淘汰赛制中 3 支队伍操纵的严格界限

随机淘汰赛制中 3 支队伍操纵的严格界限

在竞技比赛的规则设计中，如何确保比赛的公平性，防止参赛队伍进行策略性操纵以获取不正当优势，一直是一个重要的研究课题。本文聚焦于随机淘汰赛制（Randomized Death Match，RDM），深入探讨了 3 支队伍在该赛制下的操纵问题，并给出了严格的界限。

基本定义

• 匿名性（Anonymous） ：一个比赛规则 $r$ 若满足对于任意比赛 $T$、任意排列 $\sigma$ 以及所有的 $i$，都有 $r_{\sigma(i)}(\sigma(T)) = r_i(T)$，则称该规则具有匿名性。
• 随机淘汰赛制（Randomized Death Match，RDM） ：给定一个包含 $n$ 支队伍的比赛 $T$，RDM 规则会随机且无放回地选取两支队伍进行比赛，淘汰输掉比赛的队伍，然后在剩余的队伍中重复此过程，共进行 $n - 1$ 轮，直到剩下最后一支队伍，该队伍即为获胜者。
• 女巫攻击（Sybil Attack） ：对于比赛 $T$、队伍 $u_1 \in T$ 以及整数 $m$，定义 $Syb(T, u_1, m)$ 为满足以下性质的比赛 $T’$ 的集合：
  1. $T’$ 的队伍集合包含 $u_2, \cdots, u_m$ 以及 $T$ 中的所有队伍。
  2. 若 $a$ 和 $b$ 是 $T$ 中的队伍，那么在 $T’$ 中 $a$ 击败 $b$ 当且仅当在 $T$ 中 $a$ 击败 $b$。
  3. 若 $a