11、结构化偏好：理论、算法与应用

结构化偏好：理论、算法与应用

1. 引言

在社会选择场景中，参与者对可选方案进行排序，然后集体决定最佳方案或方案的排序。当只有两个方案时，可通过多数投票做出决策；但当有三个或更多方案时，决策就变得困难，可能出现多数偏好循环的情况。此外，经典研究表明，偏好聚合在概念和计算上都具有挑战性。不过，社会选择理论家发现，关注选民偏好具有共同结构的场景，可以规避一些难题。本文将探讨受限偏好域的算法特性，涵盖单峰偏好的扩展、二分偏好的结构、近结构化偏好以及结构化偏好的引出等内容。

2. 背景知识

2.1 单峰偏好

以国家 X 公民对统一税率的投票为例，若选民 i 最偏好的税率为 35%，那么随着税率偏离 35%，其偏好会降低，这种偏好被称为关于排序 的单峰偏好。正式定义为：给定线性序 ，若对于所有满足 top(i) a b 或 b a top(i) 的 a, b ∈ A，都有 a ≻i b，则称 ≻i 关于 是单峰的。对于奇数个选民的单峰偏好配置文件，多数关系是传递的，存在康多塞赢家，且有一个防策略的投票规则，即中位数选民定理。

2.2 单交叉偏好

若选民可以排序，使得对于所有 a, b ∈ A，偏好 a 胜过 b 的选民集合构成该排序的一个区间，则称线性序配置文件 P 是单交叉的。奇数个选民的单交叉偏好配置文件也具有传递的多数关系，且多数关系与中位数选民的偏好关系相同。

2.3 一维欧几里得偏好

若存在映射 x : N ∪ A → R，使得对于所有 i ∈ N 和所有 a, b ∈ A，有 a ≻i b 当且仅当 |x(i) - x(a)| < |x(i) - x(b)|