YangHao5的博客

如果找到一个点跟这个点互素，那么就是1；否则，如果所有的点都不跟这个点互素，那么就不是1。是什么呢，注意到1号点跟他不互素，所以是3。，我们不难想到在原来的最小生成树上加一条边。这条边要么是1，要么不是1。怎么判断所有的点都不跟这个点互素。偶数的情况显然满足。带3的情况显然满足，剩下最后一种情况。最后一种情况下，不会了。变大1的时候，即加入一个新的点。求最小生成树的边权之和。，显然只有0,4满足要求。个点的完全无向图，边。

康托展开 和 逆康托展开 与排列与排名密切相关。康托展开康托展开 被用来求一个排列的排名，时间复杂度 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)。假设我们要求排列 n=5,a[]={3,4,1,5,2}n=5,a[]=\{3,4,1,5,2\}n=5,a[]={3,4,1,5,2} 的排名。定义 s[i]s[i]s[i] 表示在 a[i]a[i]a[i] 后面的数中，有多少个比...

第一篇博弈论博弈论我们把动物利用大自然移动的瘾魂，在决策人期待的空间里，形成三维均衡的语文学理论，称为 博弈论。博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜的目的。阶梯 Nim 游戏例 1 矿物运输已知，矿坑与矿坑之间形成了有向的树形结构，即除 0 号矿坑以外每个矿坑都有与其相连的父亲矿坑。Jim总共开采了 nnn 个矿坑并将其从0到 n−1n-1n−1 编...

继续水博客，待会回去上术学。题目描述给定一个多项式 (by+ax)k(by+ax)^k(by+ax)k ，请求出多项式展开后 xn×ymx^n \times y^mxn×ym 项的系数。Solution先看 a=b=1a=b=1a=b=1 的情况，打个表11 11 2 11 3 3 1发现是杨辉三角。50分到手。再看100分。不难发现，答案就是原来的答案乘 an×bma^n\t...

背景删代码就能AC另一题的感觉真好。题目描述今有 n∈[1,2×109]n\in[1,2\times10^9]n∈[1,2×109]，求∑i=1nφ(i)\sum_{i=1}^{n}{\varphi(i)}i=1∑n​φ(i)Solution

题目描述今有 n,m∈N∗n,m\in\N^*n,m∈N∗，求∑i=1n∑j=1mφ(ij)mod  (109+7)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\varphi(ij)\mod(10^9+7)i=1∑n​j=1∑m​φ(ij)mod(109+7)的值，n≤105,m≤109n\leq10^5,m\leq10^9n...

题目描述今有 n,p∈N∗n,p\in\N^*n,p∈N∗，求∑i=1n∑j=1nij⋅gcd⁡(i,j)\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{ij·\gcd(i,j)}}i=1∑n​j=1∑n​ij⋅gcd(i,j)n≤1010n\leq10^{10}n≤1010。Solution设S(n)=∑i=1n∑j=1nij⋅gcd⁡(i,j)=∑k=1n∑i=1n∑j=...

题目描述给你 n,m∈N∗n,m\in\N^*n,m∈N∗，求∑i=1n∑j=1m(gcd⁡(i,j)−1)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(\gcd(i,j)-1)i=1∑n​j=1∑m​(gcd(i,j)−1)Solution设f=∑i=1n∑j=1mgcd⁡(i,j)=∑i=1n∑j=1m∑d∣gcd⁡(i,j)φ(d)=∑d=1min⁡(n,m)φ(d)(∑...

题目描述给你 N,MN,MN,M，求∑i=1N∑j=1Md(ij)\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}d(ij)i=1∑N​j=1∑M​d(ij)你需要回答 TTT 个询问。1≤N,M,T≤50 0001\leq N,M,T\leq50\ 0001≤N,M,T≤50 000。Solution今有结论(*)d(ij)=∑x∣i∑y∣j[gcd⁡(x,y...

杜教筛杜教筛 是在低于线性的时间复杂度，求一个积性函数前缀和的算法。（找不到定义，只好自己编一个）积性函数积性函数 指对于所有互质的整数 aaa 和 bbb 有性质 f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b) 的数论函数。特别地，若所有的整数 aaa 和 bbb 有性质 f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a...

我们发现(2x+3)(4x+5)=8x2+22x+15...(∗)23×45=1035(2x+3)(4x+5)=8x^2+22x+15\quad...(*)\\23\times45=1035(2x+3)(4x+5)=8x2+22x+15...(∗)23×45=1035而如果我们把 (∗)(*)(∗) 式右边的每一位的系数看做一个数每位上的数码，正好得到了 103510351035。事实上，对...

题目描述给你正整数 nnn，求∑i=1nμ(i2)f(n)=∑i=1nφ(i2)\sum_{i=1}^{n}\mu(i^2)\\f(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i^2)i=1∑n​μ(i2)f(n)=i=1∑n​φ(i2)的值。Solution首先，第一行是搞笑的，因为 ∀i∈[2,∞)\forall i\in[2,\infty)∀i∈[2,∞) 都有 μ(i2)=...

凯利公式 设一双人游戏非赢即败，且你赢的概率为 ppp，输的概率为 q (q=1−p)q\ (q=1-p)q (q=1−p)，净赔率为 bbb。则下次投入游戏的最优的资产比为f=pb−qbf=\frac{pb-q}bf=bpb−q​当 f≤0f\leq0f≤0 时，该游戏不值得参与。证明： 设进行 nnn 次游戏，第 000 天的资产为 C0C_0C0​，第 nnn 天的...

还在补暑假作业。题目描述你有一个由 NNN 种面值的货币组成的货币系统。定义两个货币系统等价，当且仅当 ∀x∈N∗\forall x\in\N^*∀x∈N∗ 要么同时能被两个货币系统表示，要么同时不能被表示。尝试从 NNN 种面值中删除尽量多种，使得删除后得到的新系统与原系统等价。求新系统的面值种数。Solution一种很显然的想法是，比如 {2,3,5}\{2,3,5\}{2,3,5}，...

我妈的抽象歌曲真 nb。题目描述给你 nnn 个点，每个点有两个参数 ci,dic_i,d_ici​,di​，给你一个数 DDD。定义一种方案合法，当且仅当你选出整数 i,j∈[1,n],i&lt;j,ci=cji,j\in[1,n],i&lt;j,c_i=c_ji,j∈[1,n],i<j,ci​=cj​，且存在一个整数 k∈(i,j)k\in(i,j)k∈(i,j) 使...

题目描述已知方程∑i=0naixi=0\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i}=0i=0∑n​ai​xi=0求该方程在 [1,m][1,m][1,m] 内的整数解。Solution有一个秦九韶公式就是a1x1+a2x2+...+anxn=x(a1+a2x1+a3x2+...+anxn−1)=x(a1+x(a2+a3x1+...+anxn−2))=...=x(a1+x(a2+x(a3+x...

题目描述点进去看吧，说的不能再清楚了。Solution看到数据规模不难想到二分 WWW，然后用个前缀和优化一下即可。注意上下界。#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;#define int l...

磕了瓶魔爪。题目描述你有两个长度为 NNN 的数组 a,ba,ba,b，试重新排列 aaa 数组使得S=∑i=1n(ai−bi)2S=\sum_{i=1}^{n}{(a_i-b_i)^2}S=i=1∑n​(ai​−bi​)2的值最小。你可且仅可以交换相邻的两个数。求最小交换数对 99,999,99799,999,99799,999,997 取模的值。Solution容易得到(∑i=1nai...

scy居然开网了。题目描述你有一个序列 aaa，你需要保留尽量多的数，使得剩下的数满足以下条件中的一个：∀x∈[2,n−1]∩N∗\forall x\in[2,n-1]∩\N^*∀x∈[2,n−1]∩N∗ 有 ax−1&lt;ax&gt;ax+1a_{x-1}&lt;a_x&gt;a_{x+1}ax−1​<ax​>ax+1​；∀x∈[2,n−1...

把 c 改成 d 下了两个点。题目描述已知正整数 a0,a1,b0,b1a_0,a_1,b_0,b_1a0​,a1​,b0​,b1​，设某未知正整数 xxx 满足：xxx 和 a0a_0a0​ 的最大公约数是 a1a_1a1​；xxx 和 b0b_0b0​ 的最小公倍数是 b1b_1b1​。求满足条件的 xxx 的个数。...

跟 zzy, hwx 等人纠结是否回去上蛋疼的董老板的课。题目描述如图所示。你有一个 N×MN\times MN×M 的矩阵，水可以从一格流到与它相邻的格子，需要满足起点的海拔严格高于终点海拔。定义两个格子相邻，当且仅当它们合法存在，且它们的横坐标和纵坐标中有且仅有一个相同，另一个数值之差严格为 111。请你告诉我，至少需要在第一行的多少格上放水，才能使最后一行的所有格子都有水。Solut...

这是一道数学题。题目描述今有12枚外观完全相同硬币，其中11枚是正品，质量完全相同；另一枚是次品，质量与正品严格不同。有一精准轻天平，在忽略空气阻力和重力加速度恒定的前提下，请设计一种方案，使得在仅用上述材料的前提下，至多称量3次便找出次品。...

题目描述今有 N,K,L,H∈N∗N,K,L,H\in\N^*N,K,L,H∈N∗，在 [L,H][L,H][L,H] 中选出 NNN 个数，使它们的最大公约数为 KKK。求方案数。Solution不妨把问题转化成：在 [⌊LK⌋,⌊HK⌋][\lfloor\frac LK\rfloor,\lfloor\frac HK\rfloor][⌊KL​⌋,⌊KH​⌋] 中取 NNN 个数使它们的最...

组合数从 nnn 个不同元素中，任取 m(m≤n)m(m≤n)m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从 nnn 个不同元素中取出 mmm 个元素的一个组合；从 nnn 个不同元素中取出 m(m≤n)m(m≤n)m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 nnn 个不同元素中取出 mmm 个元素的 组合数，记作 CnmC_n^mCnm​。注意：线性文本中的 C(n,m)C(n,m)C(n,m)...

A video by 3Blue1Brown in Bilibili\text{A video by 3Blue1Brown in Bilibili}A video by 3Blue1Brown in BilibiliI haven’t a systematic&n...

Figures Inscribed in CurvesA short tour of an old problemby Mark J. Nielsen (Professor of Mathematics, University of Idaho)These pages give a brief and informal introduction to one of my favorite...

题目描述求 nnn 个点的生成树个数。Solution 2144\text{Solution 2144}Solution 2144打表得1=125=5×1216=4245=5×32121=112320=5×82841=2922205=5×212 ……1=1^2\\\quad\quad5=5\times1^2\\16=4^2\\\quad\quad45=5...

[返回网络流 24 题索引]题目描述有成环状的 nnn 堆纸牌，现将一张纸牌移动到其邻堆称为一次操作。求使得所有堆纸牌数相等的最少移动次数。Solution 4016\text{Solution 4016}Solution 4016细心的同学已经发现，为什么lz要用纸牌类比呢。肯定与 均分纸牌 有关嘛。链状的情况我们已经会了，但是这题是环状的，那该怎么办呢？今有...

素数素数又称质数。指整数在一个大于 111 的自然数中，除了 111 和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。题目描述 loj10197\text{loj10197}loj10197给定两个整数L,RL,RL,R，求闭区间[L,R][L,R][L,R]中相邻两个质数差值最小的数对与差值最大的数对。当存在多个时，输出靠前的素数对。输入格式多组数据。每行两个数L,RL,RL,R。输出格式...

除法分块除法分块 是指使用分块计算的方法求S=∑i=1n⌊ki⌋S=\sum^{n}_{i=1}{\lfloor{\frac{k}{i}}\rfloor}S=i=1∑n​⌊ik​⌋的值。举个例子。当 n=20n=20n=20 时，有iii111222333444555666777888999101010111111121212………⌊20i⌋\lf...

博弈论我们把动物利用大自然移动的瘾魂，在决策人期待的空间里，形成三维均衡的语文学理论，称为博弈论。博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜的目的。题目描述 loj10241\text{loj10241}loj10241有一种有趣的游戏，玩法如下：玩家： 人；道具： NNN 颗石子；规则：游戏双方轮流取石子；每人每次取走若干颗石子（最少取 111 颗，最...

&amp;amp;amp;amp;nbsp;&amp;amp;amp;amp;nbsp;&amp;amp;amp;amp;nbsp;wkn∗w1n&amp;amp;amp;amp;nbsp;&amp;amp;amp;amp;nbsp;&amp;amp;amp;amp;nbsp;wnk∗wn1\ \ \ w^k_n*w^1_n =(cos&amp;amp;amp;amp;nbsp;k∗2πn+sin&amp;amp;amp;amp;nbsp;

矩阵乘法对于一个 n×mn\times mn×m 的矩阵 AAA 和一个 m×km\times km×k 的矩阵 BBB，有且仅有一个 n×kn\times kn×k的矩阵 CCC 使 A×B=CA\times B=CA×B=C，且对于∀i∈[1,n]&amp;∀j∈[1,k]\forall i\in [1,n] \&amp; \forall j\in [1,k]∀i∈[1,n]...

lz上个月在颓化学竞赛。玩计算器的时候，偶然想到一个游戏，在此放上，以飨读者。题目描述今有一计算器，它有且仅有 222 个按键 GT 和 =，它们的描述如下：GT：将计数器数值输出到屏幕；=：将当前输入的表达式的值输出到屏幕，并将结果累加到计数器中。一开始屏幕显示 111，且计数器初值为 000。求一种方案，可以用最少的按键次数，使屏幕显示 666666666。Solution\te...

上节我们说到，先凑出 373737，再搞出 181818，就能搞出 666666666。那为什么是这两个数呢？尝试把 666666666 质因数分解，得到666=2×32×37666=2\times3^2\times37666=2×32×37发现没？最后的答案 ans=46=(2+3+3+37)+1ans=46=(2+3+3+37)+1ans=46=(2+3+3+37)+1！难道这仅是巧合吗...

考虑到本文读者年龄原因，本文改为使用简体中文撰写。题目描述今有正整数 n,kn,kn,k，求 1−n1-n1−n 共 nnn 个数的全排列，按字典序的第 kkk 个。数据满足 1≤n≤105,1≤k≤min⁡(n!,1020 000).1\leq n\leq10^5,1\leq k\leq\min(n!,10^{20\ 000}).1≤n≤105,1≤k≤min(n!,1020&n...

生成函数生成函数 (Generating Function) 的应用简单来说在于研究未知（通项）数列规律，用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项。对于一个数列 aaa，称f(x)=∑i=0naixif(x)=\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i}f(x)=i=0∑n​ai​xi是数列 aaa 的 普通生成函数 (OGF)，g(x)=∑0nai×xii!g(x)=\sum_{0}^{...

Fibonacci 数列设f(x)=1,(x∈{0,1})=f(x−1)+f(x−2),otherwise.\begin{aligned}f(x)&amp;=1,\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(x\in\{0,1\})\\&amp;=f(x-1)+f(x-2),\quad\text{otherwise.}\end{a...

Description\text{Description}DescriptionGiven an array a[], swap random 2 number of them for 3n or (7n+1) times.\text{Given an ar...

Background\text{Background}BackgroundLast night, lots of students from primary school came to our class to study OI.\text{Last ni...