22、小波变换：原理、应用与实现

小波变换：原理、应用与实现

1. 时频分析基础

在信号处理领域，时频表示方法对于音频和图像处理有着重要意义。许多待分析的信号，如语音或音频信号，在短时间内具有统计上的恒定特性。因此，在短窗口内分析这些信号、计算信号参数，然后滑动窗口分析下一帧是合理的。如果这种分析基于傅里叶变换，就被称为短时傅里叶变换（STFT）。

STFT的正式定义为：
[X(\tau, f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t - \tau) e^{-j2\pi ft} dt]
它将窗口函数 (w(t - \tau)) 滑过信号 (x(t))，生成连续的时频图。为确保映射在频率 (\Delta f) 和时间 (\Delta t) 上的局部化，窗口应在频率和时间上平滑地渐变为零。高斯函数 (g(t) = e^{-t^2}) 在这方面是最优的，它提供了最小的（海森堡原理）乘积 (\Delta f\Delta t)，即最佳的局部化效果，这是由Gabor在1949年提出的。Gabor变换的离散化形式是离散Gabor变换（DGT）。

Gabor变换在整个时频平面上使用相同分辨率的窗口，但在音频和图像处理中，通常希望具有恒定的Q值（即带宽与中心频率的商）。也就是说，对于高频信号，希望使用宽带滤波器和短采样间隔；而对于低频信号，带宽应较小，间隔应较大。这可以通过连续小波变换（CWT）来实现，CWT由Grossmann和Morlet引入，其定义为：
[CWT(\tau, f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) h\left(\frac{t - \tau}{s}\right) dt]
其中 (h(t)) 被称为小波。一些典型的