BZOJ 4337 BJOI2015 树的同构 Hash

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本文探讨了给定多棵无根树时如何快速找出每棵树与其同构树的最小编号，采用双哈希方法并结合DFS算法进行计算。同时讨论了通过找到树的重心进一步优化哈希值计算的过程。

题目

给定 $m$ 棵无根树，求每棵树与其同构的树的最小编号。
$1\leq N,M\leq 50$

分析

考虑 $hash$ ，要求不涉及编号对答案的影响，且为了确保正确用2个Hash。
我使用的函数：设当前的子树是 $u$ ，深度是 $d$ ，则：
${hash}_u={(a_d+b_d\sum {hash}_{i.son})}^2$ ，
其中 $a$ 和 $b$ 是以 $d$ 为下标随机生成的数值。

对于每棵树，枚举每个节点作为根进行dfs求出 $n$ 个哈希值，存在map中。
对于求出的一个哈希值，则分相同树、不同树、还没有这三类来更新。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;

#define mp(i,j) make_pair(i,j)

typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ull,ull> pint;

const int N=64;

int m;

int n;
struct Edge
{
    int v,nxt;
}mp[N<<1];
int tt,hd[N];

ull h1[2][N];
ull h2[2][N];
map<pint,int> p;

inline int rd(void)
{
    int x=0; char c=getchar();
    for (;!isdigit(c);c=getchar());
    for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x;
}

inline int add(int u,int v)
{
    mp[++tt].v=v;
    mp[tt].nxt=hd[u];
    hd[u]=tt;
}

ull dfs(int t,int now,int pre,int dep)
{
    ull ret=h1[t][dep];
    for (int k=hd[now];k;k=mp[k].nxt)
        if (mp[k].v!=pre)
            ret+=dfs(t,mp[k].v,now,dep+1)*h2[t][dep];
    return ret*ret;
}

int main(void)
{
//  freopen("c.in","r",stdin);
//  freopen("c.out","w",stdout);

    srand(time(0));
    for (int t=0;t<=1;t++)
        for (int i=1;i<N;i++)
            h1[t][i]=rand(),h2[t][i]=rand();

    int res; m=rd();
    for (int t=1;t<=m;t++)
    {
        res=t;

        tt=0;
        memset(hd,0,sizeof hd);

        int x; n=rd();
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            x=rd();
            if (x) add(i,x),add(x,i);
        }

        ull d0,d1; pint d;
        for (int rt=1;rt<=n;rt++)
        {
            d0=dfs(0,rt,0,1);
            d1=dfs(1,rt,0,1);
            d=mp(d0,d1);
            if (p[d]==t) continue;
            if (!p[d])
                p[d]=t;
            else res=min(res,p[d]);
        }

        printf("%d\n",res);
    }

    return 0;
}

更好的做法是找一个树的固定点，然后求Hash。
我们想到了重心，但重心不唯一。
但是一棵树如果有两个重心，必定相邻。
我们求出一个重心，对它和它枚举相邻的节点求Hash，这样可以进行优化。

小结

关于同构问题的一些小结：
①可以用Hash或者枚举。
②为了提高准确率，可以考虑使用多个Hash。
③注意设计的算法要与编号无关，除非进行一次枚举，求出个hash值。
例如本题枚举根的方法。
总之如果同构数值一定要相等。
④这种方法可以应用于所有的判断相同整体的问题上。