BZOJ 4337 BJOI2015 树的同构 Hash

本文探讨了给定多棵无根树时如何快速找出每棵树与其同构树的最小编号,采用双哈希方法并结合DFS算法进行计算。同时讨论了通过找到树的重心进一步优化哈希值计算的过程。

题目

给定m棵无根树,求每棵树与其同构的树的最小编号。
1N,M50

分析

考虑hash,要求不涉及编号对答案的影响,且为了确保正确用2个Hash。
我使用的函数:设当前的子树是u,深度是d,则:
hashu=(ad+bdhashi.son)2
其中ab是以d为下标随机生成的数值。

对于每棵树,枚举每个节点作为根进行dfs求出n个哈希值,存在map中。
对于求出的一个哈希值,则分 相同树、不同树、还没有 这三类来更新。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;

#define mp(i,j) make_pair(i,j)

typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ull,ull> pint;

const int N=64;

int m;

int n;
struct Edge
{
    int v,nxt;
}mp[N<<1];
int tt,hd[N];

ull h1[2][N];
ull h2[2][N];
map<pint,int> p;

inline int rd(void)
{
    int x=0; char c=getchar();
    for (;!isdigit(c);c=getchar());
    for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x;
}

inline int add(int u,int v)
{
    mp[++tt].v=v;
    mp[tt].nxt=hd[u];
    hd[u]=tt;
}

ull dfs(int t,int now,int pre,int dep)
{
    ull ret=h1[t][dep];
    for (int k=hd[now];k;k=mp[k].nxt)
        if (mp[k].v!=pre)
            ret+=dfs(t,mp[k].v,now,dep+1)*h2[t][dep];
    return ret*ret;
}

int main(void)
{
//  freopen("c.in","r",stdin);
//  freopen("c.out","w",stdout);

    srand(time(0));
    for (int t=0;t<=1;t++)
        for (int i=1;i<N;i++)
            h1[t][i]=rand(),h2[t][i]=rand();

    int res; m=rd();
    for (int t=1;t<=m;t++)
    {
        res=t;

        tt=0;
        memset(hd,0,sizeof hd);

        int x; n=rd();
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            x=rd();
            if (x) add(i,x),add(x,i);
        }

        ull d0,d1; pint d;
        for (int rt=1;rt<=n;rt++)
        {
            d0=dfs(0,rt,0,1);
            d1=dfs(1,rt,0,1);
            d=mp(d0,d1);
            if (p[d]==t) continue;
            if (!p[d])
                p[d]=t;
            else res=min(res,p[d]);
        }

        printf("%d\n",res);
    }

    return 0;
} 

更好的做法是找一个树的固定点,然后求Hash。
我们想到了重心,但重心不唯一。
但是一棵树如果有两个重心,必定相邻。
我们求出一个重心,对它和它枚举相邻的节点求Hash,这样可以进行优化。

小结

关于同构问题的一些小结:
①可以用Hash或者枚举
②为了提高准确率,可以考虑使用多个Hash
③注意设计的算法要与编号无关除非进行一次枚举,求出n个hash值
例如本题枚举根的方法。
总之如果同构数值一定要相等。
④这种方法可以应用于所有的判断相同整体的问题上

题目描述 有一个 $n$ 个点的棋盘,每个点上有一个数字 $a_i$,你需要从 $(1,1)$ 走到 $(n,n)$,每次只能往右或往下走,每个格子只能经过一次,路径上的数字和为 $S$。定义一个点 $(x,y)$ 的权值为 $a_x+a_y$,求所有满足条件的路径中,所有点的权值和的最小值。 输入格式 第一行一个整数 $n$。 接下来 $n$ 行,每行 $n$ 个整数,表示棋盘上每个点的数字。 输出格式 输出一个整数,表示所有满足条件的路径中,所有点的权值和的最小值。 数据范围 $1\leq n\leq 300$ 输入样例 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 输出样例 25 算法1 (形dp) $O(n^3)$ 我们可以先将所有点的权值求出来,然后将其看作是一个有权值的图,问题就转化为了在这个图中求从 $(1,1)$ 到 $(n,n)$ 的所有路径中,所有点的权值和的最小值。 我们可以使用形dp来解决这个问题,具体来说,我们可以将这个图看作是一棵,每个点的父节点是它的前驱或者后继,然后我们从根节点开始,依次向下遍历,对于每个节点,我们可以考虑它的两个儿子,如果它的两个儿子都被遍历过了,那么我们就可以计算出从它的左儿子到它的右儿子的路径中,所有点的权值和的最小值,然后再将这个值加上当前节点的权值,就可以得到从根节点到当前节点的路径中,所有点的权值和的最小值。 时间复杂度 形dp的时间复杂度是 $O(n^3)$。 C++ 代码 算法2 (动态规划) $O(n^3)$ 我们可以使用动态规划来解决这个问题,具体来说,我们可以定义 $f(i,j,s)$ 表示从 $(1,1)$ 到 $(i,j)$ 的所有路径中,所有点的权值和为 $s$ 的最小值,那么我们就可以得到如下的状态转移方程: $$ f(i,j,s)=\min\{f(i-1,j,s-a_{i,j}),f(i,j-1,s-a_{i,j})\} $$ 其中 $a_{i,j}$ 表示点 $(i,j)$ 的权值。 时间复杂度 动态规划的时间复杂度是 $O(n^3)$。 C++ 代码
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