欧拉筛法

一. 筛法

例题：codevs1430

1. 埃拉托斯特尼筛法

vis[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
    if (!vis[i])
    {
        pri[++tot]=i;
        for (int j=i*2;j<=n;j+=i)
            vis[j]=1;
    }

时间复杂度：$O(n \log\log n)$

2. 欧拉筛法

写法：

vis[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
    if (!vis[i])
        pri[++tot]=i;
    for (int j=1;j<=tot;j++)
    {
        if (i*pri[j]>n) break;
        vis[i*pri[j]]=1;
        if (i%pri[j]==0) break;
    }
}

时间复杂度：$O(n)$
证：每个和数被最小的质因子筛去

二. 欧拉筛法解积性函数

1. 方法

步骤Ⅰ：证明积性
步骤Ⅱ：考虑下面三方面的实现：
①素数m，求f(m)
②m和比m的最小素因子小的素数n，求f(n*m)
③m和m的最小素因子n：求f(n*m)

2. 例子

（1）欧拉函数

题目：PC 1499

证明：设$n=\prod a_i^{p_i}，m=\prod b_i^{q_i}$，且$\gcd(m,n)=1$
$\therefore \phi(mn)=mn\prod (1-{1\over a_i})\prod(1-{1\over b_i})\\=[n*\prod (1-{1\over a_i})]*[m*(\prod(1-{1\over b_i})]\\=\phi(n)\phi(m)$

写法：
①素数m：$\phi(m)=m-1$
②m和比m的最小素因子小的素数n：
$\phi(m*n)=\phi(m)*phi(n)$
③m和m的最小素因子n：$\phi(m*n)=\phi(m)*n$

phi[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
    if (!phi[i])
    {
        pri[++tot]=i;
        phi[i]=i-1;
    }
    for (int j=1;j<=tot;j++)
    {
        if (i*pri[j]>n) break;
        if (i%pri[j]!=0)
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
        else
        {
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
            break;
        }
    }
}

（2）莫比乌斯函数

题目：PC 1492

积性证明：
设$n=\prod a_i^{p_i}，m=\prod b_i^{q_i}$，且$\gcd(m,n)=1$
①若$\exists p_i>1$或$q_i>1$，则$\mu(n*m)=\mu(n)*\mu(m)=0$
②否则，$\mu(n*m)=(-1)^{n+m}=\mu(n)*\mu(m)$
综上，$\mu(n*m)=\mu(n)*\mu(m)$

写法：
①素数m：$\mu(m)=-1$
②m和比m的最小素因子小的素数n：
$\mu(m*n)=\mu(m)*\mu(n)$
③m和m的最小素因子n：$\mu(n*m)=0$

mu[1]=vis[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
    if (!vis[i])
    {
        mu[i]=-1;
        pri[++tot]=i;
    }
    for (int j=1;j<=tot;j++)
    {
        if (i*pri[j]>n) break;
        vis[i*pri[j]]=1;
        if (i%pri[j]!=0)
            mu[i*pri[j]]=mu[i]*mu[pri[j]];
        else
        {
            mu[i*pri[j]]=0;
            break;
        }
    }
}

（3） 乘法逆元$inv(n,i)$($n$不变)

题目：PC 1494

积性证明：
$\because a*inv[a]\equiv 1, b*inv[b]\equiv 1(mod n)$
$\therefore (a*b)*(inv[a]*inv[b])\equiv 1(mod n)$
$\therefore inv[a*b]\equiv inv[a]*inv[b]$

写法：
①素数m：根据费马小定理，$inv[m]\equiv Pow(m,n-2)$
②m和比m的最小素因子小的素数n：$inv[m*n]=inv[m]*inv[n]$
③m和m的最小质因子n：
根据完全积性，$inv[m*n]=inv[m]*inv[n]$

注意，第①步是$O(n)$的。这是因为：
$O(\pi(n)\log n)=O({n\over \ln n}\log n)=O({n\over \log n}\log n)=O(n)$。

vis[1]=inv[1]=1;
for (int i=2;i<n;i++)
{
    if (!vis[i])
    {
        pri[++tot]=i;
        inv[i]=Pow(i,n-2);
    }
    for (int j=1;j<=tot;j++)
    {
        if (i*pri[j]>n) break;
        vis[i*pri[j]]=1;
        inv[i*pri[j]]=inv[i]*inv[pri[j]];
        if (i%pri[j]==0) break;
    }
}

其实可以直接有一种递推的方法：
①当n=1时，inv[n]=1
②假设当前对于k，已经求出了inv[1]，inv[2]，…，inv[k-1]，当前要求出inv[k]。
令$a=n\mod k$，$b=n/k$
$\therefore n=a+b*k$
$\therefore a=n-b*k$
又$\because inv[a]*a \equiv inv[a] * (n-b*k)\\ \equiv inv[a] * -b * k \equiv 1$
$\therefore inv[k]=-b*inv[a]$

（4）最大公约数$\gcd(a,b)$(b一定)

题目：PC 1495

证明：略

写法：求$g(i)$
①素数m：$g(m)=gcd(m,b)$；
②m和比m的最小素因子小的素数n：
$g(m*n)=g(m)*g(n)$；
③m和m的最小质因子n：
设$ek(m)$表示n的最大的幂，满足$ek(m)|m$
若$(ek(m)*n)|b$，则$g(m*n)=g(m)*n$
若不满足，则$g(m*n)=g(m)$；

$ek(i)$不是积性函数，但也可以放在欧拉筛法里面求：
①素数m：$ek(m)=m$
②m和比m的最小素因子小的素数n：$ek(m*n)=n$
③m和m的最小质因子n：$ek(m*n)=ek(m)*n$

（5）正因子数目$d(n)$

题目：PC 1496

证明：
设$m=\prod a_i^{p_i}$，$n=\prod b_i^{q_i}$且$m,n$互质
$\therefore d(mn)=d(\prod a_i^{p_i}\prod b_i^{q_i})\\=\prod (p_i-1)\prod (q_i-1)\\=d(m)*d(n)$

求法：求$d(i)$
①素数m：$d(m)=2$
②m和比m的最小素因子小的素数n：$d(m*n)=d(m)*d(n)$
③m和m的最小质因子n：
$d(m*n)=d(m)/(e(m)+1)*(e(m*m)+1)$，$e(m)$表示最大的满足$n^{e(m)}|m$的值。

求$e(i)$：
①素数m：$e(m)=1$
②m和比m的最小素因子小的素数n：$e(m*n)=1$
③m和m的最小质因子n：$e(m*n)=e(m)+1$

（6）正因子之和$s(n)$

题目：PC 1497

证明：
设$m=\prod a_i^{p_i}$，$n=\prod b_i^{q_i}$且$m,n$互质,
则$s(m*n)=\prod_j(\sum_{j=0}^{p_i}a_i^j)*\prod_j(\sum_{j=0}^{q_i}b_i^j)=s(m)s(n)$

写法：
①素数m：$s(m)=m+1$
②m和比m的最小素因子小的素数n：$s(m*n)=s(m)*s(n)$
③m和最小质因数n：
$s(m*n)=s(\prod a_i^{p_i}* n^{e(i)+1})\\=\prod (\sum_{j=0}^{p_i}a_i^j)*(\sum_{j=0}^{e(i)+1}n^j)\\=s(m)*{(\sum_{j=0}^{e(i)+1}n^j)\over (\sum_{j=0}^{e(i)}n^j)}\\=s(m)*{n^{e(i)+2}-1\over n-1}*{n-1\over n^{e(i)+1}-1}\\=s(m)*{n^{e(i)+2}-1\over n^{e(i)+1}-1}$

记$pe(m)=n^{e(i)+1}$，则可以在欧拉筛法的同时求出。

（8）另一些显而易见的积性函数

1(n)：1(n)=1，完全积性
Id(n)：Id(n)=n，完全积性
Idk(n)：Idk(n)=n^k，完全积性

3. 实现技巧

（1）节省空间

很多时候，有些数组A可以当作另外一些数组B的功能拓展，这时候就可以把B省略掉。

例如，在求欧拉函数的时候，我们可以用phi来取代vis数组。因为没有求出来的phi(i)也就意味着i是素数。

又例如，在求莫比乌斯函数的时候，我们可以用mu来取代vis数组。理由同上。不过要把mu数组的初始值设为-1。

（2）模板

变量：

• 布尔数组vis[N]
• 素数表pri[N],tot
• 积性函数

模板：

void solve(void)
{
    vis[1]=...=1;   //赋初始值 
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!vis[i])
        {
            ...             //素数的积性函数值
            pri[++tot]=i;   //加入素数表 
        }
        for (int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if (i*pri[j]>n) break;
            vis[i*pri[j]]=1;
            ...                 //公共部分
            if (i%pri[j]!=0)
            {
                ...             //m和比m的最小素因子小的素数n的处理 
            }
            else
            {
                ...             //m和m的最小素因子n的处理 
                break;
            }
        } 
    } 
}

4. 变式

（1）“加性”函数

例题：PC 1498
有些涉及到素因子的函数，也可以使用欧拉筛法求解。很多时候可以辅助积性函数的求解，上面的例子中的$e$函数，$ek$函数就是所谓的“加性”函数。

（2）$A^2$

例题：XSY 1001
对于$A^2$的积性函数，关键求出$A$的积性函数，然后顺便求解$A^2$的积性函数。

（3）$(A+1)(A-1)$

例题：XSY 1001
通常一个乘积的形式，也可以通过互质的关系，转化为有关积性函数的问题。